実用数学技能検定（数学検定 数検)

問題

\(\sqrt{5}+2\)の小数部分を\(x\)とするとき、
\(2x^2+8x+3\)の値を求めよ。

まずは、ルート5のだいたいの大きさを知る。

Lukia

まずは、\(\sqrt{5}+2\)がどのぐ ...

問題

\(n\)は自然数とする。合同式を用いて、次のことを証明せよ。
（1）\(2^{6n-5}+3^{2n}\)は\(11\)の倍数
（2）\(4^{n+1}+5^{2n-1}\)は\(21\)の倍数

(1) を ...

問題

数列\(\lbrace a_n\rbrace\)の初項から第\(n\)項までの和\(S_n\)が\(S_n=4\left( \frac{5}{2}\right)^n-4\)を満たすとき、
\(\lbrace a_n\rb ...

問題

\(I=\int \cos \left( \log x\right) dx\) を求めよ。

解法

$$\begin{align}\log x=&t とする。\\\\ また、x=&e^t \\\\両辺をxで ...

問題

\(\tan \theta=-3\)　のときの\(\sin \theta\cos \theta\)　の値を求めよ。

解法

Lukia

経験上、\(\tan \theta\)が\(\tan \theta\)のままで使 ...

問題

以下の式の値を求めよ。
1）　\(\sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 80^{\circ}\)
2）　\(\sin 20^{\circ}+\sin 40^{\circ}-\sin ...

問題

ある\(2\)桁の整数を\(9\)倍して、\(36\)を引くと、百の位は\(7\)、一の位は\(1\)であるとき、もとの整数を求めよ。

解法

Lukia

もとの整数に加えた操作は、\(9\)でくくることができます。 ...

問題

\(以下のxに関する方程式を解け。\)ただし、解は、\(10を底とする対数の形で答えよ。\)
\(2^x=3^{2x-1}\)

解法

Lukia

ちなみに、両辺それぞれのグラフは上の図のとおり。
青 ...

問題

\(\int_{0}^{3}x^2\sqrt{9-x^2} dx\)
を計算せよ。

解法

$$\begin{align}x=&3\sin \theta　とする。
\\\\ 両辺をx&で微分 ...

問題

次の図形において、\(\mathrm{AD}\)の長さを求めよ。

解法

$$\begin{align}\angle\mathrm{ADC}=&\theta　とすると、\\\\ \angle\mathrm ...