高校数学の一次不定方程式を用いれば、イチゴとマシュマロの数も数えられます。(Yahoo!知恵袋より)

整数の性質Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数学検定準2級

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KEYWORDS

高校数学 , イチゴとマシュマロと数学 , 一次不定方程式 , 整数 , 自然数 , Linear indefinite equation , integers , natural numbers , 数学検定準2級

問題

1個の重さ\( \ 23\ \)gのイチゴと1個の重さ\( \ 12\ \)gのマシュマロを詰め合わせて、ちょうど\( \ 500\ \)gのパックを作りたい。それぞれ何個ずつ詰めればよいか。なお、こたえは2通りある。

イチゴとマシュマロのパックの使いみちが気になって・・・

Yahoo!知恵袋でこの問題を見かけたとき、脳内には、高校数学には直結しにくいイメージが浮かびました。
Lukia_74
Lukia
なんて、乙女チックな。。。
淡い色合いでふわっふわのマシュマロと、ビビッドな赤のイチゴ。。。
いったい、500gのそれらで何をするのか。
気になる。うおぉ、すっごく気になるぞ〜〜〜〜!
問題文の背景画像
チョコファウンテンでもするんですか?
甘いものがらみといえば、絶対値の問題で登場する恐竜高校生ディノさんですが、
今回は、一次不定方程式というジャンル違いですし、彼を登場させる発想もできないほど、
イチゴとマシュマロの使いみちが気になってしかたありませんでした。(笑)

ディノ
ディノ
俺の存在すら忘れるなんて、ひどいやつだぜ。
イメージは、スイートですが、問題としては意外にビターかもしれません。
「進撃!巨人中学校」のサシャとアルミンの数学に関するエピソードも思い浮かびました。
(サシャなら、問題文を読んだ時点でイチゴとマシュマロのインパクトにやられ、思考停止しちゃうでしょうね。)

Lukia_74
Lukia
サシャの情動を持ちつつ、アルミンの理性をもって解いてみたいと思います。
ちなみに、マシュマロって、英語でmarshmallowって書くんですって。

解法

イチゴを\( \ x\ \)個、マシュマロを\( \ y\ \)個とする。
\( \ x\ \)と\( \ y\ \)はともに自然数である。

問題文より、以下のような一次不定方程式が立てられる。
\( \ 23x+12y=500\ \)

また、上の式が成立するには
少なくとも\( \ x\ \)は偶数である必要がある。

Lukia_74
Lukia
イチゴの重さ、23は奇数ですね。
イチゴの数が奇数なら、イチゴの重さは奇数になってしまいますが、
イチゴの数が偶数なら、イチゴの重さは偶数となります。

いっぽう、マシュマロの重さ、12は偶数なので、
マシュマロの数が偶数でも奇数でも、マシュマロの重さ自体は偶数になります。

そして、イチゴとマシュマロをあわせた重さ、500は偶数です。

全体の重さ(偶数)−マシュマロの重さ(偶数)=イチゴの重さ(偶数)

となることが求められますね。つまり、イチゴの個数は偶数である必要があるのです。

一次不定方程式\( \ 23x+12y=1\ \)を解くと、
\( \ \begin{align}x=&-12k-1 \\\\y =&23k+2 \\\\ &\left( 以下\quad kは任意の整数\right) \end{align} \ \)となる.
それぞれの定数部分を500倍する
\( \ \begin{align}x=&-12k-500 \\\\y =&23k+1000 \end{align} \ \)
また、\( \ x \ , \ y\ \)はともに自然数であるので、

\( \ \begin{align}x=&-12k-500 \gt 0\\\\y =&23k+1000 \gt 0\end{align} \ \)

不等式を解いて

\( \ -43 \leq k \leq -41\ \)

すなわち、
\( \ \begin{align}k=&-43\quad \cdots\left( ⅰ\right) \\\\ k=&-42\quad \cdots\left( ⅱ\right) \\\\ k=&-41\quad \cdots\left( ⅲ\right) \end{align} \ \)

の3通りが考えられる。

 \( \ x=-12k-500\ \) に代入して\( \ x\ \)が偶数の自然数となる\( \ k\ \)を求める。

ⅰ)
\( \ \begin{align}x=&-12\times -43-500 \\\\ x=&16\quad \left( 条件を満たす\right) \end{align}\ \)

ⅱ)
\( \ \begin{align}x=&-12\times -42-500 \\\\ x=&4\quad \left( 条件を満たす\right) \end{align}\ \)

ⅲ)
\( \ \begin{align}x=&-12\times -41-500 \\\\ x=&-8 \quad \left( 条件を満たさない\right) \end{align}\ \)

ⅰからⅲより、条件を満たすイチゴの個数は、16個、または4個である。

また、マシュマロの個数は、それぞれ11個、34個である。

こたえ

 イチゴマシュマロ
パターン116個11個
パターン24個34個

結局、イチゴとマシュマロはどうなるのか。

こたえを求めるまでは、数学アタマでしたが、いざこたえが出るとパターン1とパターン2の違いにびっくり。
パターン1は、イチゴとマシュマロのバランスが絶妙ですね。若干イチゴが多いので、甘酸っぱさとジューシーさを楽しみつつ、マシュマロのふわふわ感に癒やされる。
お店に売ってたら、私はこっちを買うような気がします。

しかし、パターン2は、「イチゴは一人一個よ!」というパターンです。
34個のマシュマロ、どうするんだろう。。。

ディノ
ディノ
ババロア(風)スイーツを作るんじゃねぇか?イチゴは、ぽちっと載せるんだよ。
Lukia_74
Lukia
はぁ、なるほど〜。
スイーツに詳しい方、この500gパックの使いみちを思いつかれましたら、ご一報いただければと存じます。(笑)

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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