Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角比と図形」に関する問題を解いてみる。

2018年9月29日図形と計量Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準2級

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問題

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次の図形において、\(\mathrm{AD}\)の長さを求めよ。

解法

$$\begin{align}\angle\mathrm{ADC}=&\theta とすると、\ \angle\mathrm{ADB}=&\pi-\angle\mathrm{ADC} \ =&\pi-\theta が成り立つ。\ & \ ゆえに、\cos \angle\mathrm{ADB}=&\cos \left( \pi-\theta\right)\ =&-\cos \theta \end{align}$$

$$\begin{align}ここで、\mathrm{AD}=&x \left( x \gt 0\right) とする。
\ 余弦定理より&
\ \cos \theta=&\frac{4^2+x^2-4^2}{2\cdot 4\cdot x} \cdots①
\ \cos \left( \pi-\theta\right)=&\frac{2^2+x^2-5^2}{2\cdot 2\cdot x} \cdots②
\ &
\ ②\times \left( -1\right)=&① より
\ -\left( \frac{2^2+x^2-5^2}{2\cdot 2\cdot x}\right)=&\frac{4^2+x^2-4^2}{2\cdot 4\cdot x} \end{align}$$
$$\begin{align}-\color{red}{2}\left( x^2-21\right)=&x^2
\ -3x^2=&-42
\ x^2=&14
\ x=& \pm \sqrt{14} \ ただし、x \gt &0 より\ x=&\sqrt{14} \end{align}$$
$$\Large ゆえに、\mathrm{AD}=\sqrt{14}$$

こたえ

$$\Large \mathrm{AD}=\sqrt{14}$$

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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Posted by Lukia_74