Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角比と図形」に関する問題を解いてみる。

図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

読了時間: 約130

問題

Left Caption

 

次の図形において、\(\mathrm{AD}\)の長さを求めよ。

解法

$$\begin{align}\angle\mathrm{ADC}=&\theta とすると、\\ \angle\mathrm{ADB}=&\pi-\angle\mathrm{ADC} \\ =&\pi-\theta が成り立つ。\\ & \\ ゆえに、\cos \angle\mathrm{ADB}=&\cos \left( \pi-\theta\right)\\ =&-\cos \theta \end{align}$$

$$\begin{align}ここで、\mathrm{AD}=&x \left( x \gt 0\right) とする。
\\ 余弦定理より&
\\ \cos \theta=&\frac{4^2+x^2-4^2}{2\cdot 4\cdot x} \cdots①
\\ \cos \left( \pi-\theta\right)=&\frac{2^2+x^2-5^2}{2\cdot 2\cdot x} \cdots②
\\ &
\\ ②\times \left( -1\right)=&① より
\\ -\left( \frac{2^2+x^2-5^2}{2\cdot 2\cdot x}\right)=&\frac{4^2+x^2-4^2}{2\cdot 4\cdot x} \end{align}$$
$$\begin{align}-\color{red}{2}\left( x^2-21\right)=&x^2
\\ -3x^2=&-42
\\ x^2=&14
\\ x=& \pm \sqrt{14} \\ ただし、x \gt &0 より\\ x=&\sqrt{14} \end{align}$$
$$\Large ゆえに、\mathrm{AD}=\sqrt{14}$$

こたえ

$$\Large \mathrm{AD}=\sqrt{14}$$

カテゴリー