高校数学の「ベクトルがらみの最大値・最小値を求める」問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
問題
次の値の最大値、最小値を求めよ。
(1) \( \ \vec{a}\cdot \vec{b} \ \)
(2) \( \ \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \ \)
(1) を解く。
$$\begin{align}\vec{a}と&\vec{b} \ のなす角を \ \theta \ とする. \\ &\left( 0 \leq \theta \lt 2\pi\right) \\ \cos \theta=&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert} \\ =&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \\ ここで,\quad &-1 \leq \cos \theta \leq 1\quad であるから,\\ &-1 \leq \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \leq 1\\ &-2 \leq \vec{a}\cdot \vec{b} \leq 2 \\ \\ ゆえに,\quad &最大値：\quad 2 \ ,\quad 最小値：\quad -2 \end{align}$$
(2) を解く。
$$\begin{align}\vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2=&\vert \vec{a} \vert^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vert \vec{b} \vert^2 \\ =&5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \\ (1)より,&-4 \leq -2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 4\\ &5-4 \leq 5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 5+4\\ すなわち,\quad &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2 \leq 9\\ \\ &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \leq 3 \\ \\ ゆえに,\quad &最大値：\quad 3\quad ,\quad 最小値：\quad 1 \end{align}$$
こたえ
| 最大値 | 最小値 | |
| (1) | 2 | -2 |
| (2) | 3 | 1 |
