高校数学の「ベクトルがらみの最大値・最小値を求める」問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年2月28日2020年9月10日ベクトルYahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

問題

 

\( \ \vert \vec{a} \vert=1 \ \),\( \ \vert \vec{b} \vert =2 \)のとき,
次の値の最大値、最小値を求めよ。
(1)　\( \ \vec{a}\cdot \vec{b} \ \)
(2)　\( \ \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \ \)

(1) を解く。

$$\begin{align}\vec{a}と&\vec{b} \ のなす角を \ \theta \ とする. \\ &\left( 0 \leq \theta \lt 2\pi\right) \\ \cos \theta=&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert} \\ =&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \\ ここで,\quad &-1 \leq \cos \theta \leq 1\quad であるから,\\ &-1 \leq \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \leq 1\\ &-2 \leq \vec{a}\cdot \vec{b} \leq 2 \\ \\ ゆえに,\quad &最大値：\quad 2 \ ,\quad 最小値：\quad -2 \end{align}$$

(2) を解く。

$$\begin{align}\vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2=&\vert \vec{a} \vert^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vert \vec{b} \vert^2 \\ =&5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \\ (1)より,&-4 \leq -2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 4\\ &5-4 \leq 5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 5+4\\ すなわち,\quad &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2 \leq 9\\ \\ &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \leq 3 \\ \\ ゆえに,\quad &最大値：\quad 3\quad ,\quad 最小値：\quad 1 \end{align}$$

こたえ

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。