高校数学の「ベクトルがらみの最大値・最小値を求める」問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
問題
次の値の最大値、最小値を求めよ。
(1) \( \ \vec{a}\cdot \vec{b} \ \)
(2) \( \ \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \ \)
(1) を解く。
$$\begin{align}\vec{a}と&\vec{b} \ のなす角を \ \theta \ とする. \\\\ &\left( 0 \leqq \theta \lt 2\pi\right) \\\\ \cos \theta=&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert} \\\\ =&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \\\\ ここで,\quad &-1 \leqq \cos \theta \leqq 1\quad であるから,\\\\ &-1 \leqq \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \leqq 1\\\\ &-2 \leqq \vec{a}\cdot \vec{b} \leqq 2 \\\\ \\\\ ゆえに,\quad &最大値：\quad 2 \ ,\quad 最小値：\quad -2 \end{align}$$
(2) を解く。
$$\begin{align}\vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2=&\vert \vec{a} \vert^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vert \vec{b} \vert^2 \\\\ =&5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \\\\ (1)より,&-4 \leqq -2\vec{a}\cdot \vec{b} \leqq 4\\\\ &5-4 \leqq 5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \leqq 5+4\\\\ すなわち,\quad &1 \leqq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2 \leqq 9\\\\ \\\\ &1 \leqq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \leqq 3 \\\\ \\\\ ゆえに,\quad &最大値：\quad 3\quad ,\quad 最小値：\quad 1 \end{align}$$
こたえ
| 最大値 | 最小値 | |
| (1) | 2 | -2 |
| (2) | 3 | 1 |
広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。