高校数学の「ベクトルがらみの最大値・最小値を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 数学検定2級

問題

problem

 

\( \ \vert \vec{a} \vert=1 \ \),\( \ \vert \vec{b} \vert =2 \)のとき,
次の値の最大値、最小値を求めよ。
(1) \( \ \vec{a}\cdot \vec{b} \ \)
(2) \( \ \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \ \)

(1) を解く。

$$\begin{align}\vec{a}と&\vec{b} \ のなす角を \ \theta \ とする. \\\\ &\left( 0 \leqq \theta \lt 2\pi\right) \\\\ \cos \theta=&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert} \\\\ =&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \\\\ ここで,\quad &-1 \leqq \cos \theta \leqq 1\quad であるから,\\\\ &-1 \leqq \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \leqq 1\\\\ &-2 \leqq \vec{a}\cdot \vec{b} \leqq 2 \\\\ \\\\ ゆえに,\quad &最大値:\quad 2 \ ,\quad 最小値:\quad -2 \end{align}$$

(2) を解く。

$$\begin{align}\vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2=&\vert \vec{a} \vert^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vert \vec{b} \vert^2 \\\\ =&5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \\\\ (1)より,&-4 \leqq -2\vec{a}\cdot \vec{b} \leqq 4\\\\ &5-4 \leqq 5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \leqq 5+4\\\\ すなわち,\quad &1 \leqq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2 \leqq 9\\\\ \\\\ &1 \leqq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \leqq 3 \\\\ \\\\ ゆえに,\quad &最大値:\quad 3\quad ,\quad 最小値:\quad 1 \end{align}$$

こたえ

 

最大値 最小値
(1) 2 -2
(2) 3 1

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