高校数学の「ベクトルがらみの最大値・最小値を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年2月28日ベクトル実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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[mathjax]

問題
\( \ \vert \vec{a} \vert=1 \ \),\( \ \vert \vec{b} \vert =2 \)のとき,
次の値の最大値、最小値を求めよ。
(1) \( \ \vec{a}\cdot \vec{b} \ \)
(2) \( \ \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \ \)

 

(1) を解く。

$$\begin{align}\vec{a}と&\vec{b} \ のなす角を \ \theta \ とする. \\\\ &\left( 0 \leq \theta \lt 2\pi\right) \\\\ \cos \theta=&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert} \\\\ =&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \\\\ ここで,\quad &-1 \leq \cos \theta \leq 1\quad であるから,\\\\ &-1 \leq \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \leq 1\\\\ &-2 \leq \vec{a}\cdot \vec{b} \leq 2 \\\\ \\\\ ゆえに,\quad &最大値:\quad 2 \ ,\quad 最小値:\quad -2 \end{align}$$

(2) を解く。

$$\begin{align}\vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2=&\vert \vec{a} \vert^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vert \vec{b} \vert^2 \\\\ =&5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \\\\ (1)より,&-4 \leq -2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 4\\\\ &5-4 \leq 5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 5+4\\\\ すなわち,\quad &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2 \leq 9\\\\ \\\\ &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \leq 3 \\\\ \\\\ ゆえに,\quad &最大値:\quad 3\quad ,\quad 最小値:\quad 1 \end{align}$$

こたえ

 

  最大値 最小値
(1) 2 -2
(2) 3 1

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2019年2月28日ベクトル実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

Posted by Lukia_74