高校数学の「ベクトルがらみの最大値・最小値を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年2月28日ベクトルYahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

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KEYWORDS高校数学 , ベクトル , 数学検定2級

問題

problem

 

\( \ \vert \vec{a} \vert=1 \ \),\( \ \vert \vec{b} \vert =2 \)のとき,
次の値の最大値、最小値を求めよ。
(1) \( \ \vec{a}\cdot \vec{b} \ \)
(2) \( \ \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \ \)

(1) を解く。

$$\begin{align}\vec{a}と&\vec{b} \ のなす角を \ \theta \ とする. \\ &\left( 0 \leq \theta \lt 2\pi\right) \\ \cos \theta=&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\vert \vec{a} \vert\vert \vec{b} \vert} \\ =&\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \\ ここで,\quad &-1 \leq \cos \theta \leq 1\quad であるから,\\ &-1 \leq \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{2} \leq 1\\ &-2 \leq \vec{a}\cdot \vec{b} \leq 2 \\ \\ ゆえに,\quad &最大値:\quad 2 \ ,\quad 最小値:\quad -2 \end{align}$$

(2) を解く。

$$\begin{align}\vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2=&\vert \vec{a} \vert^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vert \vec{b} \vert^2 \\ =&5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \\ (1)より,&-4 \leq -2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 4\\ &5-4 \leq 5-2\vec{a}\cdot \vec{b} \leq 5+4\\ すなわち,\quad &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert^2 \leq 9\\ \\ &1 \leq \vert \vec{a}-\vec{b} \vert \leq 3 \\ \\ ゆえに,\quad &最大値:\quad 3\quad ,\quad 最小値:\quad 1 \end{align}$$

こたえ

 

最大値最小値
(1)2-2
(2)31

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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Posted by Lukia_74