高校数学の「数と式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月10日数と式Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準2級

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問題

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\(\sqrt{5}+2\)の小数部分を\(x\)とするとき、
\(2x^2+8x+3\)の値を求めよ。

まずは、ルート5のだいたいの大きさを知る。

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Lukia

まずは、\(\sqrt{5}+2\)がどのぐらいの大きさをもつ値なのかを調べてみましょう。
まず、\(\sqrt{5}\)はルートいくつより大きく、ルートいくつより小さいですか?
♪

れもん

\(\sqrt{5}\)は、\(\sqrt{4}\)より大きく、\(\sqrt{6}\)より小さいです。
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Lukia

\(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\) と整数に直せますが、
\(\sqrt{6}\)はそんなふうに整数には直せそうにないですねぇ。
\(\sqrt{4}\)のように、ルートの屋根がはずれる数はないでしょうか。
?

れもん

\(\sqrt{7}\)はだめ、
\(\sqrt{8}\)は\(2\sqrt{2}\)でルートが残っちゃうから だめ・・・
♪

れもん

\(\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3\)・・・
あっ、ルートはずれました!\(3\)ですね!
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Lukia

そうです。ですから、
\(2 \lt \sqrt{5} \lt 3\)だといえますね。
さらに各辺に2を加えて、与えられた形に変形し、\(\sqrt{5}+2\)の値の大きさを推定していきます。

$$\begin{align}2 \lt &\sqrt{5} \lt 3 より、
\ 2\color{blue}{+2} \lt &\sqrt{5}\color{blue}{+2} \lt 3\color{blue}{+2}
\ 4 \lt &\sqrt{5}+2 \lt 5 だから、\
\ \sqrt{5}+2 の整数部分は&4 であり、\
\ 小数部分 x は、&
\ x=\sqrt{5}+2-4=&\sqrt{5}-2 とあらわせる。
\end{align}$$

変形して、計算しやすくする。

♪

れもん

じゃ、この\(x=\sqrt{5}-2\)を代入して・・・
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Lukia

待って!最悪、それでも解けますが、もっと楽しましょう。
センター試験では、確実にタイムロスになりますし、なんなら計算ミスを引き起こす危険性だってありますよ。
!!

れもん

ええ~!それはイヤですぅ~!
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Lukia

でしょ。ちなみに、代入する式を見ると、\(x^2\)がありますから、
\(x=\sqrt{5}-2\)も二乗しなければならないんですよね。
この式をうまく変形し、平方して\(\sqrt{5}\)のルートの屋根をはずしてみましょう。

$$\begin{align}x=&\sqrt{5}-2 を変形する。 \ x+2=&\sqrt{5} \ 両辺を平方して、&
\\left( x+2\right)^2=5
\ x^2+4x+4= &5
\ x^2+4x=1 \end{align}$$

!!

れもん

たしかに、さっきよりは計算しやすい形になりました!
\(x^2+4x\)には、\(1\)を入れたらいい。ってことになるんですね。

$$\begin{align}2x^2+8x+3=&2\left( \color{red}{x^2+4x}\right)+3
\ =&2\times \color{red}{1}+3
\ =&5 \end{align}$$

こたえ

$$5$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74