高校数学の「数と式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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問題

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\(\sqrt{5}+2\)の小数部分を\(x\)とするとき、
\(2x^2+8x+3\)の値を求めよ。

まずは、ルート5のだいたいの大きさを知る。

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Lukia

まずは、\(\sqrt{5}+2\)がどのぐらいの大きさをもつ値なのかを調べてみましょう。
まず、\(\sqrt{5}\)はルートいくつより大きく、ルートいくつより小さいですか?
♪

れもん

\(\sqrt{5}\)は、\(\sqrt{4}\)より大きく、\(\sqrt{6}\)より小さいです。
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Lukia

\(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2\) と整数に直せますが、
\(\sqrt{6}\)はそんなふうに整数には直せそうにないですねぇ。
\(\sqrt{4}\)のように、ルートの屋根がはずれる数はないでしょうか。
?

れもん

\(\sqrt{7}\)はだめ、
\(\sqrt{8}\)は\(2\sqrt{2}\)でルートが残っちゃうから だめ・・・
♪

れもん

\(\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=3\)・・・
あっ、ルートはずれました!\(3\)ですね!
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Lukia

そうです。ですから、
\(2 \lt \sqrt{5} \lt 3\)だといえますね。
さらに各辺に2を加えて、与えられた形に変形し、\(\sqrt{5}+2\)の値の大きさを推定していきます。

$$\begin{align}2 \lt &\sqrt{5} \lt 3 より、
\\ 2\color{blue}{+2} \lt &\sqrt{5}\color{blue}{+2} \lt 3\color{blue}{+2}
\\ 4 \lt &\sqrt{5}+2 \lt 5 だから、\\
\\ \sqrt{5}+2 の整数部分は&4 であり、\\
\\ 小数部分 x は、&
\\ x=\sqrt{5}+2-4=&\sqrt{5}-2 とあらわせる。
\end{align}$$

変形して、計算しやすくする。

♪

れもん

じゃ、この\(x=\sqrt{5}-2\)を代入して・・・
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Lukia

待って!最悪、それでも解けますが、もっと楽しましょう。
センター試験では、確実にタイムロスになりますし、なんなら計算ミスを引き起こす危険性だってありますよ。
!!

れもん

ええ~!それはイヤですぅ~!
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Lukia

でしょ。ちなみに、代入する式を見ると、\(x^2\)がありますから、
\(x=\sqrt{5}-2\)も二乗しなければならないんですよね。
この式をうまく変形し、平方して\(\sqrt{5}\)のルートの屋根をはずしてみましょう。

$$\begin{align}x=&\sqrt{5}-2 を変形する。 \\ x+2=&\sqrt{5} \\ 両辺を平方して、&
\\\left( x+2\right)^2=5
\\ x^2+4x+4= &5
\\ x^2+4x=1 \end{align}$$

!!

れもん

たしかに、さっきよりは計算しやすい形になりました!
\(x^2+4x\)には、\(1\)を入れたらいい。ってことになるんですね。

$$\begin{align}2x^2+8x+3=&2\left( \color{red}{x^2+4x}\right)+3
\\ =&2\times \color{red}{1}+3
\\ =&5 \end{align}$$

こたえ


$$5$$

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