Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「整数の性質」に関する問題を解いてみる。

2018年10月4日整数の性質Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準2級

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問題

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ある\(2\)桁の整数を\(9\)倍して、\(36\)を引くと、百の位は\(7\)、一の位は\(1\)であるとき、もとの整数を求めよ。

解法

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Lukia

もとの整数に加えた操作は、\(9\)でくくることができます。
ということは、右辺も\(9\)で割り切れるといえますね。
つまり、余りが出たとしても、その余りも9で割りきれて、\(0\)になるはずです。
この考えをもとに、ある2桁の整数を求めていきます。

$$\begin{align}ある2桁の整数を &10m+n とする。 \ ただし、&mは、 1 \leq m \leq 9 を満たす自然数 \ &nは、0 \leq n \leq 9 を満たす整数 \end{align}$$
$$\begin{align}9\left( 10m+n\right)-36=&700+10k+1 \ ただし、 &kは 0 \leq k \leq 9 を満たす整数 \end{align}$$
$$\begin{align}左辺は、&9\left( 10m+n-4\right) と変形できることから、\ 右辺も&9で割り切れるといえる。 \ \ \color{red}{700}+\color{blue}{10k}+1=&\color{red}{9\times77+7}+\color{blue}{9k+k}+1\ =&9\left( 77+9k\right)+k+8 \end{align}$$
$$\begin{align}{k+8} &\equiv 0 \pmod 9  より、\ k&=1 \ \ ゆえに、右辺=&711 とわかる。 \end{align}$$
$$\begin{align}9\left( 10m+n\right)-36=&711 \ 9\left( 10m+n\right)=&747 \ 10m+n=&83\ \ ゆえに、もとの整数は、&83 \end{align}$$

こたえ

$$\Large 83$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74