Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「整数の性質」に関する問題を解いてみる。

2018年10月4日整数の性質Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

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ある\(2\)桁の整数を\(9\)倍して、\(36\)を引くと、百の位は\(7\)、一の位は\(1\)であるとき、もとの整数を求めよ。

解法

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Lukia

もとの整数に加えた操作は、\(9\)でくくることができます。
ということは、右辺も\(9\)で割り切れるといえますね。
つまり、余りが出たとしても、その余りも9で割りきれて、\(0\)になるはずです。
この考えをもとに、ある2桁の整数を求めていきます。

$$\begin{align}ある2桁の整数を &10m+n とする。 \\ ただし、&mは、 1 \leqq m \leqq 9 を満たす自然数 \\ &nは、0 \leqq n \leqq 9 を満たす整数 \end{align}$$
$$\begin{align}9\left( 10m+n\right)-36=&700+10k+1 \\ ただし、 &kは 0 \leqq k \leqq 9 を満たす整数 \end{align}$$
$$\begin{align}左辺は、&9\left( 10m+n-4\right) と変形できることから、\\ 右辺も&9で割り切れるといえる。 \\ \\ \color{red}{700}+\color{blue}{10k}+1=&\color{red}{9\times77+7}+\color{blue}{9k+k}+1\\ =&9\left( 77+9k\right)+k+8 \end{align}$$
$$\begin{align}{k+8} &\equiv 0 \pmod 9  より、\\ k&=1 \\ \\ ゆえに、右辺=&711 とわかる。 \end{align}$$
$$\begin{align}9\left( 10m+n\right)-36=&711 \\ 9\left( 10m+n\right)=&747 \\ 10m+n=&83\\ \\ ゆえに、もとの整数は、&83 \end{align}$$

こたえ

$$\Large 83$$

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Posted by Lukia_74