Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「積分とその応用」に関する問題を解いてみる。

2018年10月7日数学検定準1級, 積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

読了時間: 約21

問題

Left Caption

 

\(I=\int \cos \left( \log x\right) dx\) を求めよ。

解法

$$\begin{align}\log x=&t とする。\ また、x=&e^t \ \両辺をxで微分すると \frac{1}{x}=&\frac{dt}{dx} \ dx=&xdt より、\end{align}$$
$$I=\int \cos t\cdot e^t dt $$
とあらわせる。

Left Caption

Lukia

以下は「テーブル法」といわれるもののようですが、
入試や定期テストなどの解答には書かないでください。
いってみれば裏技なので、書くとバツされちゃいます。
Left Caption

Lukia

片方を微分、片方を積分します。
今回は、\(\cos t\)を微分、\(e^t\)を積分します。
次に、微分とその1段下の積分を積でつなぎます。
一番下は、横につないでいますが、ここは積分の記号インテグラルを書きます。
赤い線は、+(プラス)で、青の線は-(マイナス)でつなげます。


$$\begin{align}\int \cos t\cdot e^t dt=&\cos t\cdot e^t\color{blue}{-}\left( -\sin t\cdot e^t\right)\color{red}{+}\int\left( -\cos t\cdot e^t\right) dt \ \ \color{blue}{\int \cos t\cdot e^t dt}=&\cos t\cdot e^t+\sin t\cdot e^t-\color{blue}{\int \cos t\cdot e^t dt} \ \color{blue}{2\int \cos t\cdot e^t dt}=&\cos t\cdot e^t+\sin t\cdot e^t+\mathrm{C}\ \int \cos t\cdot e^t dt=&\frac{1}{2}\left( \cos t\cdot e^t+\sin t\cdot e^t\right)+\mathrm{C} \end{align}$$

Left Caption

Lukia

\(t\)は、私が勝手においたものなので、ふたたび\(x\)に置換しなおします。

$$\begin{align}I=\int \cos t\cdot e^t dt=&\frac{1}{2}\left( \cos t\cdot e^t+\sin t\cdot e^t\right)+\mathrm{C} \ =&\frac{x}{2}\left( \cos \left( \log x\right)+\sin \left( \log x\right)\right)+\mathrm{C}\ &\left( ただし、\mathrm{C}は積分定数\right) \end{align}$$

こたえ

$$\frac{x}{2}\left( \cos \left( \log x\right)+\sin \left( \log x\right)\right)+\mathrm{C}$$

(ただし、Cは積分定数)

カテゴリー