Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角関数」に関する問題を解いてみる。

2018年10月5日三角関数, 数学検定準1級Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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問題

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以下の式の値を求めよ。
1) \(\sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 80^{\circ}\)
2) \(\sin 20^{\circ}+\sin 40^{\circ}-\sin 80^{\circ}\)

$$\Large \sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 80^{\circ} など$$

1)を解く。

$$\begin{align}\theta=&20^{\circ} とする。 \\ \\ 与式=&\sin \theta\cdot \sin \left( \frac{ \pi }{ 3 }-\theta\right)\cdot \sin \left( \frac{ \pi }{ 3 }+\theta\right) \\ =&\sin \theta\cdot \left( \sin \frac{ \pi }{ 3 }\cos \theta-\cos \frac{ \pi }{ 3 }\sin \theta\right)\left( \sin \frac{ \pi }{ 3 }\cos \theta+\cos \frac{ \pi }{ 3 }\sin \theta\right)\\ =&\sin \theta\left( \sin^{2} \frac{ \pi }{ 3 }\cos^{2} \theta-\cos^{2} \frac{ \pi }{ 3 }\sin^{2} \theta\right)\\ =&\sin \theta\left( \frac{3}{4}\cos^{2} \theta-\frac{1}{4}\sin^{2} \theta\right) \\ =&\frac{1}{4}\sin \theta\left( 3-4
\sin^{2} \theta\right)\\ =&\frac{1}{4}\left( 3\sin \theta-4\sin^{3} \theta\right) \end{align}$$
$$\begin{align} ここで、\sin 3\theta=&3\sin \theta-4\sin^{3} \theta より\\ &\left( サンシャインにひくヨン様参上\right) \\ \frac{1}{4}\left( 3
\sin \theta-4
\sin
^{3} \theta\right)=&\frac{1}{4}\sin 3\theta\\ =&\frac{1}{4}\cdot \sin 60^{\circ}\\ =&\frac{\sqrt{3}}{8} \end{align}$$

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Lukia

3倍角の公式に関するゴロについては、こちらをご参照ください。

2)を解く。


$$\begin{align}\theta=&20^{\circ} とする。
\\ 与式=&\sin \theta+\color{red}{\sin \left( 60^{\circ}-\theta\right)}-\color{blue}{\sin \left( 60^{\circ}+\theta\right) }
\\ =&\sin \theta+\color{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta-\frac{1}{2}\sin \theta}-\color{blue}{\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta+\frac{1}{2}\sin \theta\right)} \\ =&\sin \theta-\color{magenta}{\sin \theta}
\\ =&0 \end{align}$$

こたえ

$$1) \frac{\sqrt{3}}{8}$$
$$2) 0$$

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