Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角関数」に関する問題を解いてみる。

2018年10月5日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

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問題
以下の式の値を求めよ。
1) \(\sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 80^{\circ}\)
2) \(\sin 20^{\circ}+\sin 40^{\circ}-\sin 80^{\circ}\)

1)を解く。

$$\begin{align}\theta=&20^{\circ} とする。 \\\\ \ 与式=&\sin \theta\cdot \sin \left( \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }-\theta\right)\cdot \sin \left( \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }+\theta\right) \\\\ =&\sin \theta\cdot \left( \sin \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }\cos \theta-\cos \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }\sin \theta\right)\left( \sin \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }\cos \theta+\cos \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }\sin \theta\right)\\\\ =&\sin \theta\left( \sin^{2} \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }\cos^{2} \theta-\cos^{2} \displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }\sin^{2} \theta\right)\\\\ =&\sin \theta\left( \displaystyle\frac{3}{4}\cos^{2} \theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin^{2} \theta\right) \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{4}\sin \theta\left( 3-4
\sin^{2} \theta\right)\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{4}\left( 3\sin \theta-4\sin^{3} \theta\right) \end{align}$$
$$\begin{align} ここで、\sin 3\theta=&3\sin \theta-4\sin^{3} \theta より\\\\ &\left( サンシャインにひくヨン様参上\right) \\\\ \displaystyle\frac{1}{4}\left( 3
\sin \theta-4
\sin
^{3} \theta\right)=&\displaystyle\frac{1}{4}\sin 3\theta\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{4}\cdot \sin 60^{\circ}\\\\ =&\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8} \end{align}$$

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Lukia

3倍角の公式に関するゴロについては、こちらをご参照ください。

2)を解く。

$$\begin{align}\theta=&20^{\circ} とする。
\\\\ 与式=&\sin \theta+\color{red}{\sin \left( 60^{\circ}-\theta\right)}-\color{blue}{\sin \left( 60^{\circ}+\theta\right) }
\\\\ =&\sin \theta+\color{red}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta-\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta}-\color{blue}{\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin \theta\right)} \\\\ =&\sin \theta-\color{magenta}{\sin \theta}
\\\\ =&0 \end{align}$$

こたえ

$$1) \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{8}$$
$$2) 0$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年10月5日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

Posted by Lukia_74