3つの集合問題はカルノー図で簡単解決!(準備編)【ビジネス数学検定2級 合格への道】

2022年5月3日SPI能力検査(非言語分野),ビジネス数学検定,集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野),ビジネス数学検定2級

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第75回 ビジネス数学検定受検まで あと56日
受検勉強を再開した2022年4月18日より16日経過しています。 レモンのライン
ビジネス数学検定2級の公式問題集の中で、ここは数学の知識があるほうが解きやすいなという問題について、
いくつか紹介してみたいと思います。

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3つの集合問題はカルノー図で簡単解決!(準備編)

3つの集合問題、得意ですか?
私は、かなり苦手でした。
重なっているところを「かつ(\( \ \cap \ \))」や「または(\( \ \cup \ \))」、さらに「〜ではない(\( \ \overline{A} \ \))」などの記号を用いて表すうち、だんだんこんがらがってくるからです。
集合2つでも結構めんどくさいのに、3つになったら、混乱しないわけがありません。(笑)

そんな困っていた私ですが、ある日「カルノー図」を知ったことで、らくらく解決できるようになりました。
今回は、ベン図とカルノー図を対応させ、数式にあらわしてみたいと思います。

Lukia_74

Lukia

ちなみに、ベン図の「ベン」も、カルノー図の「カルノー」も考えた人の名前です。

ベン図をカルノー図に対応させる

3つの集合を、それぞれ\( \ \mathrm{X} \ \)、\( \ \mathrm{Y} \ \)、\( \ \mathrm{Z} \ \)とし、全体集合を\( \ \mathrm{U} \ \)とします。
3つの集合のベン図 これをカルノー図(図というよりかは表ですね)にあらわしていきます。
まず、\( \ \mathrm{X} \ \)、\( \ \mathrm{Y} \ \)の組み合わせを4通り作り、これに\( \ \mathrm{Z} \ \)の組み合わせをかけて、8通りの組み合わせで表します。

条件\( \ \mathrm{X} \ \)には、「集合\( \ \mathrm{X} \ \)に含まれる」、「集合\( \ \mathrm{X} \ \)に含まれない」の2通りが考えられます。
これは条件\( \ \mathrm{Y} \ \)や条件\( \ \mathrm{Z} \ \)にも同様に2通りずつありますので、
すべての組み合わせは、\( \ 2^3=8 \ \)通りあることになります。

横に5マス、縦に3マスの表を作ります。
上段に、「集合\( \ \mathrm{X} \ \)に含まれ、集合\( \ \mathrm{Y} \ \)にも含まれる」すなわち\( \ \mathrm{XY} \ \)
「集合\( \ \mathrm{X} \ \)に含まれるが、集合\( \ \mathrm{Y} \ \)には含まれない」すなわち\( \ \mathrm{X\overline{Y}} \ \)
「集合\( \ \mathrm{X} \ \)に含まれないが、集合\( \ \mathrm{Y} \ \)には含まれる」すなわち\( \ \mathrm{\overline{X}Y} \ \)
「集合\( \ \mathrm{X} \ \)に含まれず、集合\( \ \mathrm{Y} \ \)にも含まれない」すなわち\( \ \mathrm{\overline{X}\overline{Y}} \ \)
の項目を書き込みます。
2段めと3段目の一番左のマスに、「集合\( \ \mathrm{Z} \ \)に含まれる」すなわち\( \ \mathrm{Z} \ \)、
「集合\( \ \mathrm{Z} \ \)に含まれない」すなわち\( \ \mathrm{\overline{Z}} \ \)をそれぞれ書き込みます。

カルノー図
これでカルノー図の完成です。
8つの組み合わせに\( \ a \ \)~\( \ h \ \)までの文字を充てておきます。

数式にあらわしてみる

ベン図とカルノー図の\( \ a \ \)~\( \ h \ \)はそれぞれ対応させています。(じっくり見てくださいね)

3つの集合のベン図
カルノー図ベン図を見ると、集合\( \ \mathrm{X} \ \)、集合\( \ \mathrm{Y} \ \)、集合\( \ \mathrm{Z} \ \)は、それぞれ
\( \ \mathrm{X}=a+b+e+f \ \)
\( \ \mathrm{Y}=a+c+e+g \ \)
\( \ \mathrm{Z}=a+b+c+d \ \)
と表せることがわかります。
集合\( \ \mathrm{Z} \ \)に関しては、カルノー図の\( \ \mathrm{Z} \ \)の列とぴったり符合していますね。

$$\begin{align}\mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=&\left( a+b+e+f\right)+\left( a+c+e+g\right)+\left( a+b+c+d\right) \\\\ =&3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \end{align}$$

また、\( \ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z} \ \)(\( \ \mathrm{X} \ \)または\( \ \mathrm{Y} \ \)または\( \ \mathrm{Z} \ \))は、 $$\begin{align}\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=&a+b+c+d+e+f+g\\\\ =&a+\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right) \\\\ =&\mathrm{U}-h\end{align}$$ であることがいえます。 この2つの式はすごく便利なので覚えておきましょう。

Lukia_74

Lukia

慣れないうちは、カルノー図のどの文字が3倍?どれが2倍?と悩むと思いますが、
私は、以下の図のようにして覚えています。
カルノー図の覚え方
乱暴な話ですが、
なんならこのカルノー図と倍数の配置を覚えておけば、
上記の式を覚えられなくてもなんとかなります。(笑)

カルノー図に慣れたら、ベン図を描く必要はなくなりますので、
かなり素早く、クリアーに問題が解けるようになりますよ。

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この記事のタイトルは『 3つの集合問題はカルノー図で簡単解決!(準備編)』です。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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