Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「指数・対数」に関する問題を解いてみる。

2018年10月3日指数と対数, 数学検定準1級Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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問題

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\(以下のxに関する方程式を解け。\)ただし、解は、\(10を底とする対数の形で答えよ。\)
\(2^x=3^{2x-1}\)

解法

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Lukia

ちなみに、両辺それぞれのグラフは上の図のとおり。
青が左辺の\(y=2^x\) , 赤が右辺の\(y=3^{2x-1}\) です。
青の曲線と赤の曲線が交わるところを求めます。
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Lukia

いろんなやり方があると思いますが、私は、両辺に\(x\)がちらばっているのがいやだったので、なんとか一つにまとめられないか。それぞれ似たような形にならないかを考えることにしました。

$$\begin{align}両辺に3をかける。 & \\ 3\cdot 2^x=&3^{2x-1\color{red}{+1}} \\ 3\cdot 2^x=&3^{2x} \end{align}$$
ここで、右辺は
$$3^{2x}=\left( 3^2\right)^{x}$$
であるから、
$$3\cdot 2^x=9^x$$

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Lukia

両辺とも\(〇^x\) という形になりました。
いよいよ一つにまとめたいのですが、
ここで問題となるのは、\(\color{red}{はたして「両辺を2^xで割っていいのか。」}\)ということです。
というのも、もし\(2^x\)が\(0\)になることもあったら、割れませんからね。
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Lukia

ここで、ちょっとグラフの助けを借りてみます。
以下の図は、\(y=2^x\)のグラフです。

 

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Lukia

\(x\)の値が、\(0\)を超え、マイナスになっても、
\(y\)の値は、ギリッギリ\(0\)よりも少し上をたどっています。
限りなく\(0\)には近づくのですが、\(\color{red}{完全に0になることはありません。}\)
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Lukia

すなわち、
\(\Large 2^x \gt 0\)
がいえます。

$$\begin{align}3\cdot 2^x=&9^x \\ ここで、2^x \gt 0&より、両辺を2^x で割って、 \\ \left( \frac{9}{2}\right)^x=&3 \end{align}$$
ここで、両辺の常用対数を取ると、
$$\begin{align}\log_{10}\left( \frac{9}{2}\right)^x=&\log_{10}3 \\ x=&\frac{\log_{10}3}{\log_{10}\frac{9}{2}} \end{align}$$

こたえ

$$x=\frac{\log_{10}3}{\log_{10}\frac{9}{2}} $$

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