Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「整数の性質」に関する問題を解いてみる。

2018年10月9日整数の性質Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

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\(n\)は自然数とする。合同式を用いて、次のことを証明せよ。
(1)\(2^{6n-5}+3^{2n}\)は\(11\)の倍数
(2)\(4^{n+1}+5^{2n-1}\)は\(21\)の倍数

(1) を解く。

$$\begin{align}2^{6n-5}+3^{2n}=&2^{6\left( n-1\right)\color{red}{+1}}+9^n
\ =&\color{red}{2}\cdot \left( 2^6\right)^{n-1}+\color{blue}{9}\cdot 9^{n\color{blue}{-1}}
\ =&2\cdot 64^{n-1}+9\cdot 9^{n-1} \end{align}$$
$$ここで、{64} \equiv {9} \pmod {11} より、$$
$$\begin{align}{2\cdot 64^{n-1}+9\cdot 9^{n-1}} &\equiv {2\cdot 9^{n-1}+9\cdot 9^{n-1}} \pmod {11}
\ &\equiv {11\cdot 9^{n-1}} \pmod {11}
\ &\equiv {0} \pmod {11} \ \&以上より示せた。 \end{align}$$

(2) を解く。

$$\begin{align}4^{n\color{red}{+1}}+5^{2n\color{blue}{-1}}=&\color{red}{4}\cdot 4^n+\color{blue}{\frac{1}{5}}\cdot 5^{2n}
\ =&\frac{1}{5}\left( 20\cdot 4^n+25^n\right) \end{align}$$
$$ここで、{25} \equiv {4} \pmod {21} より、$$
$$\begin{align}{\frac{1}{5}\left( 20\cdot 4^n+25^n\right)} &\equiv {\frac{1}{5}\left( 20\cdot 4^n+4^n\right)} \pmod {21} \ &\equiv {\frac{1}{5}\cdot 21\cdot 4^n} \pmod {21} \ &\equiv {0} \pmod {21}\ \&以上より示せた。 \end{align}$$

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Posted by Lukia_74