Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「置換積分」に関する問題を解いてみる。

2018年9月30日数学検定準1級,積分とその応用Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検準1級

読了時間: 約143

問題

Left Caption
\(\int_{0}^{3}x^2\sqrt{9-x^2} dx\)
を計算せよ。

解法

$$\begin{align}x=&3\sin \theta とする。
\ 両辺をx&で微分すると、
\ 1=&3\cos \theta\cdot \frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x }
\ dx=&3\cos \theta\cdot d\theta \end{align}$$

$$x$$$$0$$$$3$$
$$\theta$$$$0$$$$\frac{ \pi }{ 2 }$$

$$\begin{align}与式=&\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} 9\sin^{2} \theta \sqrt{9-9\sin^{2} \theta} 3\cos \theta\cdot d\theta
\ =&81\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \sin \theta\cos \theta\right)^2 d\theta
\ =&81\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \frac{2\sin \theta\cos \theta}{2}\right)^2 d\theta
\ =&\frac{81}{4}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \sin 2\theta\right)^2 d\theta
\ =&\frac{81}{4}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \sin^{2} 2\theta d\theta
\ =&\frac{81}{4}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \frac{1-\cos 4\theta}{2} d\theta
\ =&\frac{81}{8}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 1-\cos 4\theta\right) d\theta
\ =&\frac{81}{8} \left[\theta-\frac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }}
\ =&\frac{81}{8}\cdot \frac{ \pi }{ 2 }
\ =&{\frac{ 81 }{ 16 }}\pi \end{align}$$

こたえ

$$\Large {\frac{ 81 }{ 16 }}\pi$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

カテゴリー