Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「置換積分」に関する問題を解いてみる。

2018年9月30日数学検定準1級, 積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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問題

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\(\int_{0}^{3}x^2\sqrt{9-x^2} dx\)
を計算せよ。

解法

$$\begin{align}x=&3\sin \theta とする。
\\ 両辺をx&で微分すると、
\\ 1=&3\cos \theta\cdot \frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x }
\\ dx=&3\cos \theta\cdot d\theta \end{align}$$

$$x$$ $$0$$ $$3$$
$$\theta$$ $$0$$ $$\frac{ \pi }{ 2 }$$

$$\begin{align}与式=&\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} 9\sin^{2} \theta \sqrt{9-9\sin^{2} \theta} 3\cos \theta\cdot d\theta
\\ =&81\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \sin \theta\cos \theta\right)^2 d\theta
\\ =&81\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \frac{2\sin \theta\cos \theta}{2}\right)^2 d\theta
\\ =&\frac{81}{4}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \sin 2\theta\right)^2 d\theta
\\ =&\frac{81}{4}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \sin^{2} 2\theta d\theta
\\ =&\frac{81}{4}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \frac{1-\cos 4\theta}{2} d\theta
\\ =&\frac{81}{8}\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 1-\cos 4\theta\right) d\theta
\\ =&\frac{81}{8} \left[\theta-\frac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }}
\\ =&\frac{81}{8}\cdot \frac{ \pi }{ 2 }
\\ =&{\frac{ 81 }{ 16 }}\pi \end{align}$$

こたえ

$$\Large {\frac{ 81 }{ 16 }}\pi$$

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