Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「置換積分」に関する問題を解いてみる。

2018年9月30日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
\(\displaystyle\int_{0}^{3}x^2\sqrt{9-x^2} dx\)
を計算せよ。

解法

$$\begin{align}x=&3\sin \theta とする。
\\\\ 両辺をx&で微分すると、
\\\\ 1=&3\cos \theta\cdot \displaystyle\frac{ \mathrm{ d } \theta }{ \mathrm{ d } x }
\\\\ dx=&3\cos \theta\cdot d\theta \end{align}$$

$$x$$ $$0$$ $$3$$
$$\theta$$ $$0$$ $$\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }$$

$$\begin{align}与式=&\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} 9\sin^{2} \theta \sqrt{9-9\sin^{2} \theta} 3\cos \theta\cdot d\theta
\\\\ =&81\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \sin \theta\cos \theta\right)^2 d\theta
\\\\ =&81\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \displaystyle\frac{2\sin \theta\cos \theta}{2}\right)^2 d\theta
\\\\ =&\displaystyle\frac{81}{4}\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( \sin 2\theta\right)^2 d\theta
\\\\ =&\displaystyle\frac{81}{4}\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \sin^{2} 2\theta d\theta
\\\\ =&\displaystyle\frac{81}{4}\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \displaystyle\frac{1-\cos 4\theta}{2} d\theta
\\\\ =&\displaystyle\frac{81}{8}\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }} \left( 1-\cos 4\theta\right) d\theta
\\\\ =&\displaystyle\frac{81}{8} \left[\theta-\displaystyle\frac{1}{4}\sin 4\theta\right]_{0}^{\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }}
\\\\ =&\displaystyle\frac{81}{8}\cdot \displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }
\\\\ =&{\displaystyle\frac{ 81 }{ 16 }}\pi \end{align}$$

こたえ

$$\Large {\displaystyle\frac{ 81 }{ 16 }}\pi$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年9月30日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74