Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角関数」に関する問題を解いてみる。

2018年10月6日三角関数, 数学検定準1級Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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問題

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\(\tan \theta=-3\) のときの\(\sin \theta\cos \theta\) の値を求めよ。

$$\Large \tan \theta=-3 のときの\sin \theta\cos \theta の値$$

解法

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Lukia

経験上、\(\tan \theta\)が\(\tan \theta\)のままで使われる問題は、あまり見かけません。
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) や、
\(1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta}\) をうまく利用して値を求めていきます。

$$\begin{align}\sin \theta\cos \theta=&\sin \theta\cos \theta\cdot \color{blue}{\frac{\cos \theta}{\cos \theta}}
\\ =&\frac{\sin \theta}{\color{blue}{\cos \theta}}\cdot \cos^{2} \theta
\\ =&\tan \theta\cdot \cos^{2} \theta \end{align}$$

ちょっと脱線。

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Lukia

式変形をして、\(\cos^{2} \theta\) の値がわかればよいところまできました。
\(\tan \theta\) がらみの\(\cos^{2} \theta\)の求め方も知っておきましょう。


$$\begin{align}1+\tan^{2} \theta=&1+\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\ =&\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\ =&\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$

$$\begin{align}ここで、&1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta} より、
\\ &1+\left( -3\right)^2=10=\frac{1}{\cos^{2} \theta}
\\ &\cos^{2} \theta=\frac{1}{10} より、
\\ \tan \theta\cdot \cos^{2} \theta=&-3\times \frac{1}{10}
\\ =&-\frac{3}{10} \end{align}$$

こたえ

$$-\frac{3}{10}$$

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