Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリにあった「三角関数」に関する問題を解いてみる。

2018年10月6日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

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問題
\(\tan \theta=-3\) のときの\(\sin \theta\cos \theta\) の値を求めよ。

解法

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Lukia

経験上、\(\tan \theta\)が\(\tan \theta\)のままで使われる問題は、あまり見かけません。
\(\tan \theta=\displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) や、
\(1+\tan^{2} \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}\) をうまく利用して値を求めていきます。

$$\begin{align}\sin \theta\cos \theta=&\sin \theta\cos \theta\cdot \color{blue}{\displaystyle\frac{\cos \theta}{\cos \theta}}
\\\\ =&\displaystyle\frac{\sin \theta}{\color{blue}{\cos \theta}}\cdot \cos^{2} \theta
\\\\ =&\tan \theta\cdot \cos^{2} \theta \end{align}$$

ちょっと脱線。

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Lukia

式変形をして、\(\cos^{2} \theta\) の値がわかればよいところまできました。
\(\tan \theta\) がらみの\(\cos^{2} \theta\)の求め方も知っておきましょう。


$$\begin{align}1+\tan^{2} \theta=&1+\displaystyle\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\displaystyle\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$

$$\begin{align}ここで、&1+\tan^{2} \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} より、
\\\\ &1+\left( -3\right)^2=10=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}
\\\\ &\cos^{2} \theta=\displaystyle\frac{1}{10} より、
\\\\ \tan \theta\cdot \cos^{2} \theta=&-3\times \displaystyle\frac{1}{10}
\\\\ =&-\displaystyle\frac{3}{10} \end{align}$$

こたえ

$$-\displaystyle\frac{3}{10}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年10月6日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

Posted by Lukia_74