高校数学の「座標と直線」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 図形と方程式 , 数学検定2級

問題

problem

 

2点\( \ \mathrm{A}\left( a, \ -a+1\right), \ \mathrm{B}\left( -2a-1, \ 2a\right) \ \)が互いに\(x\)軸の反対側にあるとき、次の問いに答えよ。
(1) \(a\)の値のとりうる範囲を求めよ。
(2) 直線\( \ \mathrm{AB} \ \)と\( \ x\)軸との交点の座標を求めよ。
(3) 原点\(\mathrm{O}\)と\( \ \mathrm{A}, \ \mathrm{B} \ \)を頂点とする三角形の面積が\( \ 1 \ \)であるとき、\(a\)の値を求めよ。

定数 a は0以外の実数

Lukia_74

Lukia

定数\( \ a \ \)がとりうる値の範囲を考えるとき、
ある程度は数字と同じように扱ってもいいのですが、少し注意しておかねばならないこともあります。
定数\( \ a \ \)は「実数」と定められている場合、符号に関していうと、「\(+\)(プラス)」でも、「\(-\)(マイナス)」でもいいのです。
またどちらの符号もつかない\(0\)だってありえますね。
Lukia_74

Lukia

こういう問題が出ると、解く側の希望的観測が含まれるのでしょうが、
定数\(a\)を正の数だと勝手に判断してしまう人がいます。
「だって~、マイナスついてないし~」と思うかもしれませんが、
\(a \gt 0\) という条件がついていない以上、
\(a \lt 0\)の場合も考えるべきであり、さまざまなケースを想定できる人かどうかが問われているといえます。
Lukia_74

Lukia

今回の問題で、定数\( \ a \ \)が絶対に取れない値があります。
それは\( \ 0 \ \)です。
2点\( \ \mathrm{A}, \ \mathrm{B} \ \)は\(x\)軸をはさんで反対側にある。ということですから、

$$\begin{align}2点 \ &\mathrm{A}, \ \mathrm{B}が互いに \ x軸の反対側にあるためには, \\\\ a \neq 0 \ &かつ \ -2a-1 \neq 0 \\\\ すなわち&a \neq 0 \ かつ \ a \neq -\frac{1}{2} \ である必要がある. \end{align}$$


$$\begin{align}a \gt &0 \ のとき\quad \quad \cdots \ ⅰ \\\\ 点\mathrm{B} \ は&明らかに第2象限にある.\\\\ 点\mathrm{B}のx座標&より,\quad -2a-1 \lt 0\\\\ すなわち& \ -\frac{1}{2} \lt a\quad \quad \cdotsⅱ\\\\ また点\mathrm{A}は,&-a+1 \gt 0\\\\ すなわち& \ 0 \lt a \lt 1\quad のとき \ 第1象限にあり\quad \quad \cdots ⅲ\\\\ &1 \lt a \ のとき, \ 第4象限にある\quad \quad \cdots ⅳ \\\\ ⅰからⅳより,&\quad 0 \lt a \lt 1, \ または \ 1 \lt a \end{align}$$


$$\begin{align}a \lt 0&\quad かつ \ a \neq -\frac{1}{2}\quad のとき\quad \quad \cdots ⅰ \\\\ 点\mathrm{A}は,&明らかに第2象限に存在する. \\\\ ゆえに& \ 点\mathrm{B} \ は第4象限に存在する. \\\\ 点\mathrm{A}のy座標より,&\quad -a+1 \gt 0\\\\ すなわち&\quad 1 \gt a\quad \quad \cdots ⅱ\\\\ 点\mathrm{B}のx座標より,&\quad -2a-1 \gt 0\\\\ すなわち&\quad -\frac{1}{2} \gt a\quad \quad \cdots ⅲ\\\\ ⅰからⅲより,&\quad a \lt -\frac{1}{2}\end{align}$$
$$\begin{align}Ⅰ,Ⅱ \ より,&\quad 求める \ a \ の値の範囲は \\\\ a \lt -\frac{1}{2}&\quad または \ 0 \lt a \lt 1\quad または \ 1 \lt a \end{align}$$
(2)
$$\begin{align}直線 \ \mathrm{AB} \ は \ &y=\frac{-3a+1}{3a+1}\left( x-a\right)-a+1\quad と表せる. \\\\ 直線 \ \mathrm{AB} \ &が \ x軸と交わるのは, \ y=0 \ のとき.\\\\ \frac{-3a+1}{3a+1}\left( x-a\right)-a+1=&0\\\\ \frac{-3a+1}{3a+1}\left( x-a\right)=&a-1 \\\\ ここで,&3a+1 \neq 0\quad かつ\quad -3a+1 \neq 0 \\\\ すなわち,&a \neq -\frac{1}{3}\quad かつ\quad a \neq \frac{1}{3} \ とする.\\\\ 両辺を \ &\frac{3a+1}{-3a+1} \ 倍する.\\\\ x-a=&\left( a-1\right)\cdot \frac{3a+1}{-3a+1}\\\\ x=&\frac{\left( a-1\right)\left( 3a+1\right)+a\left( -3a+1\right)}{-3a+1} \\\\ x=&\frac{a+1}{3a-1}\\\\ 求める座標は, \ &\left( \frac{a+1}{3a-1} \ , \ 0\right) \end{align}$$
(3)
$$\begin{align}\triangle \mathrm{OAB}の面積 \ \mathrm{S} \ は,&線分\mathrm{AB}を底辺とし, \\\\ \ &直線\mathrm{AB}と原点\mathrm{O}との距離を高さhとして求められる。\\\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\vert \mathrm{AB} \vert h=1 \\\\ \vert \mathrm{AB} \vert h=&2\quad \quad \cdots \ ★\end{align}$$
$$\begin{align}\vert \mathrm{AB} \vert=&\sqrt{\left( a+2a+1\right)^2+\left( -a+1-2a\right)^2} \\\\ =&\sqrt{18a^2+2} \end{align}$$
$$\begin{align}また \ 直線 \ \mathrm{AB} \ は, \ &a \neq -\frac{1}{3} \ のとき, \\\\ &\left( -3a+1\right)x-\left( 3a+1\right)y+a+1=0\quad と表せる. \\\\ h=&\frac{\vert a+1 \vert}{\sqrt{\left( -3a+1\right)^2+\left( 3a+1\right)^2}}=\frac{\vert a+1 \vert}{\sqrt{18a^2+2}} \end{align}$$
★に代入する.
$$\begin{align}\vert \mathrm{AB} \vert h=&2 \\\\ \sqrt{18a^2+2}\cdot \frac{\vert a+1 \vert}{\sqrt{18a^2+2}}=&2 \\\\ \vert a+1 \vert=&2 \end{align}$$
$$\begin{align}-1 \lt &a\quad のとき,\quad a+1=2\quad すなわち \ a=1 \\\\ a \leqq &-1\quad のとき,\quad -a-1=2\quad すなわち \ a=-3\\\\ \\\\ ここで,&(1)で求めた \ a \ の値の範囲と \ a \neq -\frac{1}{3} \ と合わせて考える.\\\\ (1)より,&a \neq 1 \ であるので,\\\\ &a=1 \ は不適.\\\\ ゆえに&求める定数 \ a \ の値は \ a=-3\end{align}$$

こたえ

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