高校数学の「関数の極値が存在する条件」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 3次関数 , 極値が存在する条件 , 微分 , 数学検定2級

問題

problem

\(p \ \)を実数の定数とする.関数 \( \ f\left( x\right)=2x^3+3px^2+3px+1 \ \)は, \( \ x=\alpha \ \)で極大値\( \ f\left( \alpha\right) \ \)を,\( \ x=\beta \ \)で極小値\( \ f\left( \beta\right) \ \)をとる.
(1) \(p \ \)のとり得る値の範囲を求めよ.
(2) \(f\left( \alpha\right)+f\left( \beta\right) \ \)を\( \ p \ \)を用いて表せ.
(3) \(f\left( x\right) \ \)の極大値と極小値の和が\( \ 0 \ \)であるとき,\( \ p \ \)の値を求めよ.

極値の有無と判別式との関係をていねいに記述する。

$$\begin{align}f\left( x\right)& \ の両辺を \ x \ について微分した \\\\ f’\left( x\right)=&6x^2+6px+3p\quad を \\\\ &x \ に関する二次方程式 \ 6x^2+6px+3p=0 \ とおく.\\\\ &その判別式を \ \mathrm{D} \ とおくとき,題意を満たすためには、\\\\ \mathrm{D}/4=&9p^2-18p \gt 0 \ である必要がある.
\\\\ &以上より,\quad p \lt 0 \ , \ 2 \lt p \end{align}$$

二次方程式の解と係数の関係を用いてなるべく簡単に計算しよう。

$$\begin{align}&6x^2+6px+3p=0 \ のとき, \\\\ 解と&係数の関係より, \\\\ \alpha+\beta=&-p \ , \ \alpha\beta=18p \end{align}$$
$$\begin{align}f\left( \alpha\right)+f\left( \beta\right)=&2\left( \alpha^3+\beta^3\right)+3p\left( \alpha^2+\beta^2\right)+3p\left( \alpha+\beta\right)+2 \\\\ =&2\lbrace \left( \alpha+\beta\right)^3-3\alpha\beta\left( \alpha+\beta\right)\rbrace+3p\lbrace \left( \alpha+\beta\right)^2-2\alpha\beta\rbrace +3p\left( \alpha+\beta\right)+2 \\\\ =&2\left( -p^3+54p^2\right)+3p\left( p^2-36p\right)-3p^2+2\\\\ =&p^3-3p^2+2 \end{align}$$

これまでに解いた問題には何かしら意味があることを忘れないで。

(2)より,
$$\begin{align}f\left( \alpha\right)+f\left( \beta\right)=&p^3-3p^2+2=0\quad を解いて, \\\\ p=&1 \ , \ 1 \pm \sqrt{3}\end{align}$$
ここで(1)と,
$$\begin{align}2 \lt &1+\sqrt{3} \lt 3 \\\\ -1 \lt &1-\sqrt{3} \lt 0\quad より \\\\ p=&1 \pm \sqrt{3} \end{align}$$

こたえ


$$\begin{align}&\left( 1\right)\quad p \lt 0 \ , \ 2 \lt p \\\\ &\left( 2\right)\quad f\left( \alpha\right)+f\left( \beta\right)=p^3-3p^2+2 \\\\ &\left( 3\right)\quad p=1 \pm \sqrt{3} \end{align}$$

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