高校数学の「2つの放物線に囲まれた区間の面積」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

$$\begin{align}f\left( x\right)=&\color{#0004fc}{x^2-4}-\left( \color{#f700ca}{-x^2+2x}\right)=2x^2-2x-4\quad とする. \\\\ f\left( x\right)=&0\quad となるのは, \\\\ x=&-1\quad ,\quad x=2 \end{align}$$
ゆえにグラフは以下の通り.
$$\begin{align}ここで,\quad \quad &-1 \leqq x \leqq 2\quad の区間の面積を \\\\ \mathrm{S}_1\quad とし, \\\\ &2 \leqq x \leqq 3\quad の区間の面積を \\\\ \mathrm{S}_2\quad とする.\end{align}$$

Lukia
オレンジ色で塗りつぶされた部分が\( \ \mathrm{S}_2 \ \)です。
$$\begin{align}\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha} f\left( x\right) dx=&\mathrm{F}\left( \alpha\right)-\mathrm{F}\left( \beta\right) \quad であり,\\\\ \mathrm{F}\left( x\right)=&\displaystyle\frac{1}{3}\left( 2x^3-3x^2-12x\right)+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C}\quad は積分定数\right) \quad である.\end{align}$$

Lukia

Lukia

Lukia
\( \ \displaystyle\frac{1}{6} \ \)公式が使えますね。
今回は、\( \ \mathrm{S}_1 \ \)と\( \ \mathrm{S}_2 \ \)を別々に求めたほうが楽かもしれません。
二つの求積法をやってみて、自分の計算のスピードや確実さなどから、どっちがよいか試してみてください。
こたえ
$$\displaystyle\frac{38}{3}$$