高校数学の「2つの放物線に囲まれた区間の面積」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年2月8日2021年8月16日微分と積分実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

$$\begin{align}f\left( x\right)=&\color{#0004fc}{x^2-4}-\left( \color{#f700ca}{-x^2+2x}\right)=2x^2-2x-4\quad とする. \\\\ f\left( x\right)=&0\quad となるのは, \\\\ x=&-1\quad ,\quad x=2 \end{align}$$
ゆえにグラフは以下の通り.

$$\begin{align}ここで,\quad \quad &-1 \leqq x \leqq 2\quad の区間の面積を \\\\ \mathrm{S}_1\quad とし, \\\\ &2 \leqq x \leqq 3\quad の区間の面積を \\\\ \mathrm{S}_2\quad とする.\end{align}$$

Lukia

黄色で塗りつぶされた部分が\( \ \mathrm{S}_1 \ \),
オレンジ色で塗りつぶされた部分が\( \ \mathrm{S}_2 \ \)です。

$$\begin{align}\displaystyle\int_{\beta}^{\alpha} f\left( x\right) dx=&\mathrm{F}\left( \alpha\right)-\mathrm{F}\left( \beta\right) \quad であり,\\\\ \mathrm{F}\left( x\right)=&\displaystyle\frac{1}{3}\left( 2x^3-3x^2-12x\right)+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C}\quad は積分定数\right) \quad である.\end{align}$$

Lukia

\( \ \begin{align}\mathrm{S}=&\mathrm{S}_1+\mathrm{S}_2 \\\\ =&\displaystyle\int_{-1}^{2} -f\left( x\right) dx+\displaystyle\int_{2}^{3} f\left( x\right) dx \\\\ =&\color{#0004fc}{-}\displaystyle\int_{-1}^{2} f\left( x\right) dx+\displaystyle\int_{2}^{3} f\left( x\right) dx\\\\ =&\color{#0004fc}{-}\lbrace \mathrm{F}\left( 2\right)-\mathrm{F}\left( -1\right)\rbrace + \mathrm{F}\left( 3\right)-\mathrm{F}\left( 2\right)\\\\ =&-2\mathrm{F}\left( 2\right)+\mathrm{F}\left( -1\right) +\mathrm{F}\left( 3\right)=\displaystyle\frac{38}{3} \end{align} \ \)

Lukia

ちょっと手間なようですが、前もって\( \ f\left( x\right) \ \)とその原関数（\( \ f\left( x\right) \ \)を積分した関数）を求めておくと、煩雑な計算が少しだけ楽になります。

Lukia

また、本来ならば、\( \ -1 \leqq x \leqq 2\ \)の区間については、
\( \ \displaystyle\frac{1}{6} \ \)公式が使えますね。
今回は、\( \ \mathrm{S}_1 \ \)と\( \ \mathrm{S}_2 \ \)を別々に求めたほうが楽かもしれません。
二つの求積法をやってみて、自分の計算のスピードや確実さなどから、どっちがよいか試してみてください。

こたえ

$$\displaystyle\frac{38}{3}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。