高校数学の「隣接3項間の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

\( \ a_0=3,\quad a_1=4 \ \)
\( \ a_{n+2}-a_{n+1}-6a_n=14\cdot 5^n \ \)について\( \ a_n \ \)を\( \ n \ \)の式で表わせ。

解法

特性方程式から与式を2通りで表す

特性方程式\( \ x^2-x-6=0 \ \)を解く。
\( \ \left( x-3\right)\left( x+2\right)=0 \ \) より
特性解は\( \ x=-2 \ \) , \( \ x=3 \ \) である。

与式は

\( \ \left( a_{n+2}+2a_{n+1}\right)=3\left( a_{n+1}+2a_n\right)+14\cdot 5^n\quad \cdots \ ① \ \)
\( \ \left( a_{n+2}-3a_{n+1}\right)=-2\left( a_{n+1}-3a_n\right)+14\cdot 5^n\quad \cdots \ ② \ \) と表せる。

漸化式①を求める

①について
\( \ b_n=a_{n+1}+2a_n \ \) とする。
( \( \ n= \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \) )
\( \ b_0=a_1+2a_0=10 \ \)

\( \ b_{b+1}=3b_n+14\cdot 5^n \ \)

両辺を \( \ 5^{n+1} \ \) で割る
\(\displaystyle\frac{b_{n+1}}{5^{n+1}}=\displaystyle\frac{3b_n}{5\cdot 5^n}+\displaystyle\frac{14\cdot 5^n}{5\cdot 5^n}\)

ここで、\( \ d_n= \ \)\(\displaystyle\frac{b_n}{5^n}\) とおく。
特に\( \ d_0=b_0=10 \ \)

\( \ d_{n+1}= \ \)\(\displaystyle\frac{3}{5}\)\( \ d_n+ \ \)\(\displaystyle\frac{14}{5}\)
\( \ \left( d_{n+1}-\alpha\right)= \ \)\(\displaystyle\frac{3}{5}\)\( \ \left( d_n-\alpha\right) \ \)
\( \ – \ \)\(\displaystyle\frac{3}{5}\)\( \ \alpha+\alpha= \ \)\(\displaystyle\frac{14}{5}\) より
\( \ \alpha=7 \ \)であるから
\( \ \left( d_{n+1}-7\right)= \ \)\(\displaystyle\frac{3}{5}\)\( \ \left( d_n-7\right) \ \)

さらに \( \ e_n=d_n-7 \ \) とおく。
特に \( \ e_0=d_0-7=3 \ \)
\( \ e_n=3\cdot \ \)\(\Large \left( \displaystyle\frac{3}{5}\right)^{n-1}\)
\( \ d_n=3\cdot \ \)\(\Large \left( \displaystyle\frac{3}{5}\right)^{n-1}\)\( \ +7 \ \)
\( \ b_n=3^n\cdot \ \)\(\Large \left( \displaystyle\frac{1}{5}\right)^{n-1}\)\( \ \times 5^n+7\cdot 5^n \ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=3^n\cdot 5^{n-n+1}+7\cdot 5^n\ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=5\cdot 3^n+7\cdot 5^n\quad \cdots \ ①’\ \)

漸化式②を求める

②について
\( \ c_n=a_{n+1}-3a_n \ \) とする。
( \( \ n= \ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ \cdots \ \) )
\( \ c_0=a_1-3a_0=-5 \ \)

\( \ c_{b+1}=-2c_n+14\cdot 5^n \ \)

両辺を \( \ 5^{n+1} \ \) で割る
\(\displaystyle\frac{c_{n+1}}{5^{n+1}}=\displaystyle\frac{-2b_n}{5\cdot 5^n}+\displaystyle\frac{14\cdot 5^n}{5\cdot 5^n}\)

ここで、\( \ f_n= \ \)\(\displaystyle\frac{c_n}{5^n}\) とおく。
特に\( \ f_0=c_0=-5 \ \)

\( \ f_{n+1}= \ \)\(\Large -\displaystyle\frac{2}{5}\)\( \ f_n+ \ \)\(\displaystyle\frac{14}{5}\)
\( \ \left( f_{n+1}-\beta\right)= \ \)\(\Large -\displaystyle\frac{2}{5}\)\( \ \left( f_n-\beta\right) \ \)
\(\displaystyle\frac{2}{5}\)\( \ \beta+\beta= \ \)\(\displaystyle\frac{14}{5}\) より
\( \ \beta=2 \ \)であるから
\( \ \left( f_{n+1}-2\right)= \ \)\(\Large -\displaystyle\frac{2}{5}\)\( \ \left( f_n-2\right) \ \)

さらに \( \ g_n=f_n-2 \ \) とおく。
特に \( \ g_0=f_0-2=-7 \ \)
\( \ g_n=-7\cdot \ \)\(\Large \left( -\displaystyle\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)
\( \ f_n=-7\cdot \ \)\(\Large \left( -\displaystyle\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)\( \ +2 \ \)
\( \ c_n=-7\cdot \ \)\(\Large \left( -\displaystyle\frac{2}{5}\right)^{n-1}\)\( \ \times 5^n+2\cdot 5^n \ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=-7\cdot \left( -2\right)^{n-1}\cdot 5^{n-n+1}+2\cdot 5^n\ \)
\( \ \color{#ffffff}{b_n}=-35\cdot \left( -2\right)^{n-1}+2\cdot 5^n\quad \cdots \ ②’\ \)

辺々引いて一般項を求める

\( \ b_n-c_n \ \) をする

\( \ b_n=a_{n+1}+2a_n=5\cdot 3^n+7\cdot 5^n \ \)
\( \ c_n=a_{n+1}-3a_n=-35\cdot \left( -2\right)^{n-1}+2\cdot 5^n \ \)

\( \ b_n-c_n=5a_n=35\cdot \left( -2\right)^{n-1}+5\cdot 3^n+5\cdot 5^n \ \)

\( \ a_n=7\cdot \left( -2\right)^{n-1}+3^n+5^n \ \)

こたえ

\( \ a_n=7\cdot \left( -2\right)^{n-1}+3^n+5^n \ \)
レモンのライン
Lukia_74
Lukia
今回の問題は、隣接3項間の漸化式という、そもそも難しい問題である上、
指数を含んだ漸化式なども含んでいるので、相当難しいです。
めんどくさくても、次々\( \ a_n \ \)→\( \ b_n \ \)→\( \ d_n \ \)→\( \ e_n \ \) と置き換えて、
頭の中を丁寧に整理していきましょう。
私も、答えが出せるまで、朝から何回も解きました。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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