高校数学の「二次関数の最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

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\(a\)を定数とする。
関数\(y=3x^2-6ax+2\)
\(\left( 0 \leqq x \leqq 2\right)\)について最小値を求めよ。

二次関数を見たら、まずは「平方完成」して軸と頂点を求める。

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Lukia

二次関数は、とにかく軸と頂点の意識が何より大切です。
ですから、まずは平方完成してみましょう。

$$\begin{align}y=&f\left( x\right) とする。 \\ f\left( x\right)=&3\left( x^2-2ax\right)+2 \\ =&3\left( x-a\right)^2-3a^2+2 \end{align}$$

♪

れもん

軸は、\(x=a\)で、
頂点は、\(\left( a , -3a^2+2\right)\)とわかりますね。
?

れもん

でも、\(a\)っていくつだかわからないですよね。
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Lukia

\(a\)がはっきりと定まっていないわけですから、
定義域と、軸との位置関係を見ていく必要があるということです。
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Lukia

定義域と軸の関係を表すと以下の図のような5通りが考えられます。

軸の位置 $$2 \lt a$$ $$1 \leqq a \leqq 2$$ $$a=1$$ $$0 \leqq a \leqq 1$$ $$a \lt 0$$
最大値 $$f\left( 0\right)$$ $$f\left( 0\right)$$ $$f\left( 0\right)$$
または
$$f\left( 2\right)$$
$$f\left( 2\right)$$ $$f\left( 2\right)$$
最小値 $$f\left( 2\right)$$ $$f\left( a\right)$$ $$f\left( a\right)$$ $$f\left( a\right)$$ $$f\left( 0\right)$$
♪

れもん

今回の問題は、最小値を求めるのですから、場合分け自体は5通りあるけれど、
答えの場合分けは3通りになるんですね。
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Lukia

そうですね。
今回は、下に凸の関数なので、軸に近い端点か、頂点そのものが最小値を取ります。
また、今回は関係ないけれど、軸よりも離れている端点が最大値を取ります。

$$\begin{align}ⅰ)   &2 \lt a のとき \\ f\left( 2\right)=&3\left( 2-a\right)^2-3a^2+2 \\ =&14-12a \end{align}$$
$$\begin{align}ⅱ)   &0 \leqq a \leqq 2 のとき \\ f\left( a\right)=&-3a^2+2 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅲ)   &a \geqq 0 のとき \\ f\left( 0\right)=&2 \end{align}$$

こたえ

ⅰ) $$2 \lt a のとき$$ $$14-12a$$
ⅱ) $$0 \leqq a \leqq 2 のとき$$ $$-3a^2+2$$
ⅲ) $$a \geqq 0 のとき$$ $$2$$

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