高校数学の「分数型(?)の漸化式を数学的帰納法で示す」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

\( \ a_1= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{2}\), \( \ a_{n+1}= \ \)\(\displaystyle\frac{a_n}{3a_n+1}\) を満たす数列の一般項が \( \ a_n= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{3n-1}\) であることを数学的帰納法を用いて表わせ。

解法

\( \ n=1 \ \) のとき
\( \ a_1= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{2}\)であるから、成り立つ。
いま、 \( \ n=k \ \) ( \( \ k \ \) は自然数 )において
\( \ a_k= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{3k-1}\) が成り立つと仮定する。
\( \ n=k+1 \ \) のとき
$$\begin{align}a_{k+1}=&\displaystyle\frac{a_k}{3a_k+1} \\\\ =&\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{3k-1}}{\displaystyle\frac{3}{3k-1}+1} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{3k-1}\times \displaystyle\frac{3k-1}{3k+2}\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{3k+2}\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{3\left( k+1\right)-1} \end{align}$$ 以上より
すべての自然数において\( \ a_1= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{2}\), \( \ a_{n+1}= \ \)\(\displaystyle\frac{a_n}{3a_n+1}\) を満たす数列の一般項は
\( \ a_n= \ \)\(\displaystyle\frac{1}{3n-1}\) である。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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