高校数学の「数列の応用(漸化式)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 等差数列と等比数列の積 , 漸化式 , 数学検定2級

問題

problem

等比数列\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)の一般項が, \( \ a_n=2^{n+1} \ \) で表される (ただし,\( \ n \ \)は自然数)とき,以下の問いに答えよ.
$$\left( 1\right)\quad \sum_{k=1}^{n}{a_k}\quad \quad を求めよ.$$
$$\begin{align}&数列 \ \lbrace b_n\rbrace \ は\quad \quad \sum_{k=1}^{n}{a_kb_k}=-2^{n+2}\left( n-4\right)-16\quad \quad を満たすとする. \\\\ \left( 2\right)\quad &b_1\quad を求めよ. \\\\ \left( 3\right)\quad &\sum_{k=1}^{n}{b_k}\quad を求めよ. \end{align}$$
$$\begin{align}&数列 \ \lbrace c_n\rbrace \ は\quad c_{n+1}=3c_n+4a_nb_n\quad ,\quad c_1=1\quad を満たすとする. \\\\ \left( 4\right)\quad &d_n=\frac{c_n}{a_n} \ とおくとき,\quad d_{n+1} \ を \ d_n \ と \ n \ を用いて表せ.\end{align}$$

等比数列の和は問題ないでしょう。

$$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{a_k}=&\frac{4-4\cdot 2^n}{1-2} \\\\ =&4\cdot 2^n-4\end{align}$$

(2)を解く。

$$\begin{align}a_1b_1=&-2^3\left( 1-4\right)-16=8 \\\\ \left( 1\right) \ よりa_1=&4 \ だから, \\\\ b_1=&2 \end{align}$$

和の式を応用して(3)を解く。

$$\begin{align}\mathrm{S}_n=&\sum_{k=1}^{n}{a_kb_k}\quad とおく. \\\\ a_nb_n=&\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1} \\\\ =&-2^{n+1}\left( n-3\right) \\\\ \\\\ ゆえに \ b_n=&-n+3 \end{align}$$
$$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{b_k}=&\frac{n\left( 2-n+3\right)}{2} \\\\ =&\frac{-n^2+5n}{2} \end{align}$$

形を揃えるために両辺を割ってみる。

$$\begin{align}c_{n+1}=&3c_n+4a_nb_n\quad \cdots★ \\\\ d_n=&\frac{c_n}{a_n} \ より \ d_{n+1}=\frac{c_{n+1}}{a_{n+1}} \\\\ \\\\ ここで&★の両辺を公比2の数列 \ a_{n+1} \ で割る. \end{align}$$
$$\begin{align}\frac{c_{n+1}}{a_{n+1}}=&\frac{3c_n}{a_{n+1}}+\frac{4a_nb_n}{a_{n+1}} \\\\ =&\frac{3c_n}{2a_n}+\frac{4a_nb_n}{2a_n} \\\\ d_{n+1}=&\frac{3}{2}d_n+2b_n\\\\ =&\frac{3}{2}d_n-2n+6 \end{align}$$

こたえ


$$\begin{align}&\left( 1\right)\quad \sum_{k=1}^{n}{a_k}=4\cdot 2^n-4\\\\ &\left( 2\right)\quad b_1=2\\\\ &\left( 3\right)\quad \sum_{k=1}^{n}{b_k}=\frac{-n^2+5n}{2}\\\\ &\left( 4\right)\quad d_{n+1}=\frac{3}{2}d_n-2n+6 \end{align}$$

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