高校数学の三角形の面積は、三角比でもベクトルでも求められるようにしておこう。

ベクトル数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS三角形の面積 , 三角比 , 平面ベクトル , 証明 , 高校数学 , 数学検定2級
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Lukia

平面ベクトルで、三角形の面積を求めることがありますが、
三角比のところで習った\(\mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \theta\)というような公式が簡単に使えないことがありますよね。

そこで、新たな公式を覚えるわけですが、なんとなく紛らわしくてややこしくて、覚えても自信がない。
今回は、三角比で覚えた公式から平面ベクトルで覚える公式へ変形してみます。


$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積\mathrm{S}は\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert\sin \theta \ で表される。 \\ \\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\sin^{2} \theta} \\ =&\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\left( 1-\cos^{2} \theta\right)} \end{align}$$
$$\begin{align}ここで \ \cos \theta=&\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert} \ より \\ 与式=&\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2-\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\cdot \frac{\left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2}} \\ \\ =&\color{#0004fc}{\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2-\left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2}} \end{align}$$

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Lukia

入試問題だったか、数検だったか忘れてしまいましたが、
以前、式変形することによって証明させる問題が出題されたこともありますので、
単なる公式としてまる覚えすると、痛い目を見る可能性もありますね。
一回式変形をやっておけば、試験会場でど忘れしても、導き出すことができますから、ぜひやってみてください。

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Posted by Lukia_74