高校数学の三角形の面積は、三角比でもベクトルでも求められるようにしておこう。

2018年10月29日ベクトル実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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Lukia

平面ベクトルで、三角形の面積を求めることがありますが、
三角比のところで習った\(\mathrm{S}=\displaystyle\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \theta\)というような公式が簡単に使えないことがありますよね。

そこで、新たな公式を覚えるわけですが、なんとなく紛らわしくてややこしくて、覚えても自信がない。
今回は、三角比で覚えた公式から平面ベクトルで覚える公式へ変形してみます。


$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積\mathrm{S}は\\\\ \mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert\sin \theta \ で表される。 \\\\ \\\\ \mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\sin^{2} \theta} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\left( 1-\cos^{2} \theta\right)} \end{align}$$
$$\begin{align}ここで \ \cos \theta=&\displaystyle\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert} \ より \\\\ 与式=&\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2-\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\cdot \displaystyle\frac{\left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2}} \\\\ \\\\ =&\color{#0004fc}{\displaystyle\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2-\left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2}} \end{align}$$

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Lukia

入試問題だったか、数検だったか忘れてしまいましたが、
以前、式変形することによって証明させる問題が出題されたこともありますので、
単なる公式としてまる覚えすると、痛い目を見る可能性もありますね。
一回式変形をやっておけば、試験会場でど忘れしても、導き出すことができますから、ぜひやってみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74