高校数学の「積分の応用(積分を定数に置換する)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年1月7日微分と積分実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題
次の等式を満たす関数\( \ f\left( x\right) \ \)を求めよ.
$$f\left( x\right)=x^2+\displaystyle\int_0^1 xf\left( t\right) dt$$

積分部分を定数kでおく。

$$\begin{align}k=&\displaystyle\int_{0}^{1} f\left( t\right) dt \ とおく. \\\\ したがって \\\\ f\left( x\right)=&x^2+kx\quad \cdots \ ① \ と表せる.\end{align}$$
$$\begin{align}f\left( x\right)=&x^2+x\displaystyle\int_{0}^{1} \left( t^2+kt\right) dt \\\\ =&x^2+x\left[\displaystyle\frac{1}{3}t^3+\displaystyle\frac{k}{2}t^2\right]_{0}^{1} \\\\ =&x^2+x\left( \displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{k}{2}\right) \quad \cdots \ ②\end{align}$$
$$\begin{align}①と②より,& \\\\ k=&\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{k}{2} \\\\ k=&\displaystyle\frac{2}{3}\\\\ ゆえに \ f\left( x\right)=&x^2+\displaystyle\frac{2}{3}x \end{align}$$

こたえ

$$f\left( x\right)=x^2+\displaystyle\frac{2}{3}x$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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