高校数学の「積分の応用(積分を定数に置換する)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 積分の応用 , 一部を定数に置換する , 数学検定2級

問題

problem

 

次の等式を満たす関数\( \ f\left( x\right) \ \)を求めよ.
$$f\left( x\right)=x^2+\int_0^1 xf\left( t\right) dt$$

積分部分を定数kでおく。

$$\begin{align}k=&\int_{0}^{1} f\left( t\right) dt \ とおく. \\\\ したがって \ f\left( x\right)=&x^2+kx\quad \cdots \ ① \ と表せる.\end{align}$$
$$\begin{align}f\left( x\right)=&x^2+x\int_{0}^{1} \left( t^2+kt\right) dt \\\\ =&x^2+x\left[\frac{1}{3}t^3+\frac{k}{2}t^2\right]_{0}^{1} \\\\ =&x^2+x\left( \frac{1}{3}+\frac{k}{2}\right) \quad \cdots \ ②\end{align}$$
$$\begin{align}①と②より,& \\\\ k=&\frac{1}{3}+\frac{k}{2} \\\\ k=&\frac{2}{3}\\\\ \\\\ ゆえに \ f\left( x\right)=&x^2+\frac{2}{3}x \end{align}$$

こたえ

$$f\left( x\right)=x^2+\frac{2}{3}x$$

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