高校数学の「三角関数の最大値・最小値(合成を含む)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月22日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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[mathjax]

問題
次の関数の最大値・最小値と、そのときの\(\theta\)の値を求めよ。
\(y=2\sin^{2} \theta+2\sqrt{3}\sin \theta\cos \theta+4\cos^{2} \theta\quad \left( 0 \leqq \theta \lt 2\pi\right)\)

合成の方向へ。

$$\begin{align}y=&2\sin^{2} \theta+2\sqrt{3}\sin \theta\cos \theta+4\cos^{2} \theta\\ =&2\left( \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta\right)+2\cos^{2} \theta+\sqrt{3}\cdot 2\sin \theta\cos \theta \\ =&2+\cos 2\theta+1+\sqrt{3}\sin 2\theta \\ =&\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos 2\theta +3\\ =&\sqrt{3+1}\sin \left( 2\theta+\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\right)+3\\ =&2\sin \left( 2\theta+\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\right)+3 \end{align}$$

定義域を値域に対応させる。

$$0 \leqq \theta \lt 2\pi$$
$$0 \leqq 2\theta \lt 4\pi$$
$$\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \leqq 2\theta +\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \lt 4\pi +\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } $$
$$-1 \leqq \sin \left( 2\theta +\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\right) \leqq 1$$
$$-2 \leqq 2\sin \left( 2\theta +\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\right) \leqq 2$$
$$-2+3 \leqq 2\sin \left( 2\theta +\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\right)+3 \leqq 2+3$$
$$1 \leqq y \leqq 5$$

最大値・最小値を求める。

$$\begin{align}最大値は5& \\ &2\theta+\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }=\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 } \ \quad ,\quad \ 2\theta+\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }=\displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }+2\pi \\ &\theta=\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \ \quad ,\quad \ \theta={\displaystyle\frac{ 7 }{ 6 }}\pi \end{align}$$
$$\begin{align}最小値は1& \\ &2\theta+\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }={\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }}\pi \ \quad ,\quad \ 2\theta+\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }={\displaystyle\frac{ 3 }{ 2 }}\pi+2\pi \\ &\theta={\displaystyle\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \quad ,\quad \ \theta={\displaystyle\frac{ 5 }{ 3 }}\pi \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}最大値:5&\quad \theta=\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 } \ \quad ,\quad \ \theta={\displaystyle\frac{ 7 }{ 6 }}\pi\\最大値:1&\quad \theta={\displaystyle\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \quad ,\quad \ \theta={\displaystyle\frac{ 5 }{ 3 }}\pi \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年12月22日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

Posted by Lukia_74