高校数学の「三角関数の最大値・最小値(合成を含む)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角関数 , 最大値・最小値 , 関数の合成 , 数学検定2級

問題

problem
次の関数の最大値・最小値と、そのときの\(\theta\)の値を求めよ。
\(y=2\sin^{2} \theta+2\sqrt{3}\sin \theta\cos \theta+4\cos^{2} \theta\quad \left( 0 \leqq \theta \lt 2\pi\right)\)

合成の方向へ。

$$\begin{align}y=&2\sin^{2} \theta+2\sqrt{3}\sin \theta\cos \theta+4\cos^{2} \theta\\\\ =&2\left( \sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta\right)+2\cos^{2} \theta+\sqrt{3}\cdot 2\sin \theta\cos \theta \\\\ =&2+\cos 2\theta+1+\sqrt{3}\sin 2\theta \\\\ =&\sqrt{3}\sin 2\theta+\cos 2\theta +3\\\\ =&\sqrt{3+1}\sin \left( 2\theta+\frac{ \pi }{ 6 }\right)+3\\\\ =&2\sin \left( 2\theta+\frac{ \pi }{ 6 }\right)+3 \end{align}$$

定義域を値域に対応させる。

$$0 \leqq \theta \lt 2\pi$$
$$0 \leqq 2\theta \lt 4\pi$$
$$\frac{ \pi }{ 6 } \leqq 2\theta +\frac{ \pi }{ 6 } \lt 4\pi +\frac{ \pi }{ 6 } $$
$$-1 \leqq \sin \left( 2\theta +\frac{ \pi }{ 6 }\right) \leqq 1$$
$$-2 \leqq 2\sin \left( 2\theta +\frac{ \pi }{ 6 }\right) \leqq 2$$
$$-2+3 \leqq 2\sin \left( 2\theta +\frac{ \pi }{ 6 }\right)+3 \leqq 2+3$$
$$1 \leqq y \leqq 5$$

最大値・最小値を求める。

$$\begin{align}最大値は5& \\\\ &2\theta+\frac{ \pi }{ 6 }=\frac{ \pi }{ 2 } \ \quad ,\quad \ 2\theta+\frac{ \pi }{ 6 }=\frac{ \pi }{ 2 }+2\pi \\\\ &\theta=\frac{ \pi }{ 6 } \ \quad ,\quad \ \theta={\frac{ 7 }{ 6 }}\pi \end{align}$$
$$\begin{align}最小値は1& \\\\ &2\theta+\frac{ \pi }{ 6 }={\frac{ 3 }{ 2 }}\pi \ \quad ,\quad \ 2\theta+\frac{ \pi }{ 6 }={\frac{ 3 }{ 2 }}\pi+2\pi \\\\ &\theta={\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \quad ,\quad \ \theta={\frac{ 5 }{ 3 }}\pi \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}最大値:5&\quad \theta=\frac{ \pi }{ 6 } \ \quad ,\quad \ \theta={\frac{ 7 }{ 6 }}\pi\\\\最大値:1&\quad \theta={\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \quad ,\quad \ \theta={\frac{ 5 }{ 3 }}\pi \end{align}$$

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