高校数学の「ベクトル(内積・三角形の面積公式)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDSベクトル , 平面ベクトル , 内積 , 面積公式 , 高校数学 , 数学検定2級

問題

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三角形\(\mathrm{OAB}\)は面積が\(9\sqrt{7}\)で、\(\mathrm{OA}=6\) , \(\mathrm{OB}=8\)であり、\(\angle \mathrm{AOB}\)は鈍角である。このとき、\(\sin \angle \mathrm{AOB}\)と\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\)を求めよ。

三角比を使った面積公式からサインを求める

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Lukia

\(\sin \angle \mathrm{AOB}\)は三角比を使った三角形の面積公式から求められますね。
ここは、ベクトルの範囲というわけではないです。

$$\begin{align}\angle \mathrm{AOB}=&\theta \ とする。\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}\sin \theta \ より\\ 9\sqrt{7}=&\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin \theta\\ \sin \theta=&\frac{3\sqrt{7}}{8} \end{align}$$

(その1)三角比を用いて内積を求める。

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Lukia

\(\theta\)は、鈍角なので図は正確ではないのですが、
三平方の定理を用いて、\(\cos \theta\)の値が求められればいいだけなので、
以下の直角三角形を使います。

$$\begin{align}\cos \theta=&\frac{ \pm 1}{8} \\ ただし \ \theta \ は鈍角なので、 \\ \cos \theta=&-\frac{1}{8} \end{align}$$
$$\begin{align}\cos \theta=&\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert} \\ \\ -\frac{1}{8}=&\frac{\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}}{6\cdot 8} \\ \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&-6 \end{align}$$

(その2)ベクトルの三角形の面積公式を用いて内積を求める。


平面ベクトルの三角形の面積公式は、
$$\Large \mathrm{S}=\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{OA}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{OB}} \vert^2-\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)^2}$$
で求められます。
$$\begin{align}9\sqrt{7}=&\frac{1}{2}\sqrt{6^2\cdot 8^2-\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)^2} \\ 両辺を2乗して \\ 81\cdot 7=&\frac{1}{4}\left( 6^2\cdot 8^2-\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)^2\right)\\ 36\left( 63-64\right)=&-\left( \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)^2\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=& \pm 6\end{align}$$
$$\begin{align}ここで、 \ &\theta \ は鈍角であるから、 \\ \cos \theta \lt &0\\ \\ゆえに \ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&-6 \end{align}$$

どちらでも解けますが・・・

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Lukia

ベクトルの内積\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}\)については二通りの解き方を示しました。
さて、どちらで解くべきか。ということについて自分なりに場合分けをしてみました。
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Lukia

まず、平面ベクトルの三角形の面積公式がおぼつかない(知らない・覚えたが自信がない・度忘れした)人は、(その1)の三角比と内積の公式を使って解けばよいと思います。
\(\cos \theta\)を求めよ。となってないので、わざわざ求めるのももったいない気もしますが、
計算量が少ないので、時短にはなりますね。
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Lukia

実際、この問題は、あとにまだまだ問題が続いているので、
(その2)のような煩雑な計算をするわけにはいきません。
ですから、単元は「平面ベクトル」なのですが、三角比を使えるならおおいに利用して確実に解き進めましょう。
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Lukia

平面ベクトルの三角形の面積公式を確実に覚えていて、時間的余裕がある場合は、(その2)の解き方でもよいと思います。
平方根をはずすのが苦手な人は、こういう問題になるべく当たって、練習しておきましょうね。

こたえ

$$\Large \begin{align}\sin \angle \mathrm{AOB}=&\frac{3\sqrt{7}}{8} \\ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=&-6\end{align}$$

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