高校数学の「指数・対数の大小比較」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約2分42秒
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問題
次の５つの数の大小比較をし、左から小さい順に並べよ。
なお、必要があれば、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) ,\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) を用いてもよい。
\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\frac{1}{5}} \ \) , \( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)
なお、必要があれば、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) ,\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) を用いてもよい。
\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\frac{1}{5}} \ \) , \( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)
解法
左の３つの数の大小比較をする
\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\frac{1}{5}} \ \) を2を底とする指数に直す。
\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\frac{1}{5}} \ \)
\( \ 2^{\frac{2}{3}}\ \), \( \ 2^0 \ \) , \( \ 2^{\frac{4}{5}} \ \)
\( \ 2^{\frac{10}{15}}\ \), \( \ 2^0 \ \) , \( \ 2^{\frac{12}{15}} \ \)
ゆえに \( \ 1\quad \lt \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad \lt \quad 16^{\frac{1}{5}} \ \)
\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\frac{1}{5}} \ \)
\( \ 2^{\frac{2}{3}}\ \), \( \ 2^0 \ \) , \( \ 2^{\frac{4}{5}} \ \)
\( \ 2^{\frac{10}{15}}\ \), \( \ 2^0 \ \) , \( \ 2^{\frac{12}{15}} \ \)
ゆえに \( \ 1\quad \lt \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad \lt \quad 16^{\frac{1}{5}} \ \)
右の２つの数の大小比較をする
\( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)を常用対数で表す。
\( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)
\(\Large \frac{\log_{10}3}{\log_{10}2^2}\) , \(\Large \frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}\)
\(\Large \frac{\log_{10}3}{2\log_{10}2}\) , \(\Large \frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}\)
ここで、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) ,\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) を用いる。
\(\Large \frac{0.4771}{2\times 0.3010}\) , \(\Large \frac{0.3010}{0.4771}\)
およそ\(\Large \frac{4}{5}\) , およそ\(\Large \frac{5}{8}\)
およそ\(\Large \frac{32}{40}\) , およそ\(\Large \frac{25}{40}\)
ゆえに\( \ \log_{3}2\quad \lt \quad \log_{4}3 \ \)
ここで\( \ \quad \log_{4}3 \lt 1 \ \) であるから、
\( \ \log_{3}2\quad , \quad \log_{4}3\quad , \quad1\quad , \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad , \quad 16^{\frac{1}{5}} \ \)
\( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)
\(\Large \frac{\log_{10}3}{\log_{10}2^2}\) , \(\Large \frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}\)
\(\Large \frac{\log_{10}3}{2\log_{10}2}\) , \(\Large \frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}\)
ここで、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) ,\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) を用いる。
\(\Large \frac{0.4771}{2\times 0.3010}\) , \(\Large \frac{0.3010}{0.4771}\)
およそ\(\Large \frac{4}{5}\) , およそ\(\Large \frac{5}{8}\)
およそ\(\Large \frac{32}{40}\) , およそ\(\Large \frac{25}{40}\)
ゆえに\( \ \log_{3}2\quad \lt \quad \log_{4}3 \ \)
ここで\( \ \quad \log_{4}3 \lt 1 \ \) であるから、
\( \ \log_{3}2\quad , \quad \log_{4}3\quad , \quad1\quad , \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad , \quad 16^{\frac{1}{5}} \ \)
問題に特定の数が示されている場合、
ある意味、使わないで正解が導かれる可能性は低い。
ということを示しています。
ですから、おおいに活用しましょう。
活用できない解法である場合、答えが怪しいかもしれません。
また、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) と \( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) はよく出てきますので、
覚えておくと便利です。
２つの対数は、底の変換公式を用いて、常用対数の分数に直したあと、
「およそ」の分数で表しました。
今回は、大小比較であって、
正確な数値を求める問題ではないので、小数点以下2桁で概数値を出せば十分です。
ある意味、使わないで正解が導かれる可能性は低い。
ということを示しています。
ですから、おおいに活用しましょう。
活用できない解法である場合、答えが怪しいかもしれません。
また、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) と \( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) はよく出てきますので、
覚えておくと便利です。
２つの対数は、底の変換公式を用いて、常用対数の分数に直したあと、
「およそ」の分数で表しました。
今回は、大小比較であって、
正確な数値を求める問題ではないので、小数点以下2桁で概数値を出せば十分です。
こたえ
\( \ \log_{3}2\quad , \quad \log_{4}3\quad , \quad1\quad , \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad , \quad 16^{\frac{1}{5}} \ \)
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