高校数学の「指数・対数の大小比較」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

指数と対数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

次の5つの数の大小比較をし、左から小さい順に並べよ。
なお、必要があれば、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) ,\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) を用いてもよい。


\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\displaystyle\frac{1}{5}} \ \) , \( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)

解法

左の3つの数の大小比較をする

\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\displaystyle\frac{1}{5}} \ \) を2を底とする指数に直す。

\( \ \sqrt[ 3 ]{ 4 } \ \), \( \ 1 \ \) , \( \ 16^{\displaystyle\frac{1}{5}} \ \)

\( \ 2^{\displaystyle\frac{2}{3}}\ \), \( \ 2^0 \ \) , \( \ 2^{\displaystyle\frac{4}{5}} \ \)

\( \ 2^{\displaystyle\frac{10}{15}}\ \), \( \ 2^0 \ \) , \( \ 2^{\displaystyle\frac{12}{15}} \ \)

ゆえに \( \ 1\quad \lt \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad \lt \quad 16^{\displaystyle\frac{1}{5}} \ \)

右の2つの数の大小比較をする

\( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)を常用対数で表す。

\( \ \log_{4}3 \ \) , \( \ \log_{3}2 \ \)

\(\displaystyle\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2^2}\) , \(\displaystyle\frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}\)

\(\displaystyle\frac{\log_{10}3}{2\log_{10}2}\) , \(\displaystyle\frac{\log_{10}2}{\log_{10}3}\)

ここで、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) ,\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) を用いる。

\(\displaystyle\frac{0.4771}{2\times  0.3010}\) , \(\displaystyle\frac{0.3010}{0.4771}\)

およそ\(\displaystyle\frac{4}{5}\) , およそ\(\displaystyle\frac{5}{8}\)

およそ\(\displaystyle\frac{32}{40}\) , およそ\(\displaystyle\frac{25}{40}\)

ゆえに\( \ \log_{3}2\quad \lt \quad \log_{4}3 \ \)

ここで\( \ \quad \log_{4}3 \lt 1 \ \) であるから、

\( \ \log_{3}2\quad , \quad \log_{4}3\quad , \quad1\quad , \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad , \quad 16^{\displaystyle\frac{1}{5}} \ \)

Lukia_74
Lukia
問題に特定の数が示されている場合、
ある意味、使わないで正解が導かれる可能性は低い。
ということを示しています。

ですから、おおいに活用しましょう。
活用できない解法である場合、答えが怪しいかもしれません。

また、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) と \( \ \log_{10}3=0.4771 \ \) はよく出てきますので、
覚えておくと便利です。

2つの対数は、底の変換公式を用いて、常用対数の分数に直したあと、
「およそ」の分数で表しました。

今回は、大小比較であって、
正確な数値を求める問題ではないので、小数点以下2桁で概数値を出せば十分です。

こたえ

\( \ \log_{3}2\quad , \quad \log_{4}3\quad , \quad1\quad , \quad \sqrt[ 3 ]{ 4 }\quad , \quad 16^{\displaystyle\frac{1}{5}} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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