高校数学の「三角関数の不定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月31日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
以下の不定積分を求めよ。
$$\int \left( \displaystyle\frac{3}{\cos^{2} \theta}-\displaystyle\frac{2}{\sin^{2} \theta}\right) d\theta$$

微分はよいよい、積分はムズい。

Lukia_74

Lukia

分数型の積分は、対数に直すパターンがありますが、
三角関数までからんでいるとなると、複雑そうですよね。
入試問題でも、経過を問うことはしないと思うので、微分した結果を覚えて、その逆をあてはめて、積分にしてしまいましょう。

$$\begin{align}\left( \tan \theta\right)’=&\left( \displaystyle\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)’ \\\\ =&\displaystyle\frac{\left( \sin \theta\right)’\cdot \cos \theta-\sin \theta\cdot \left( \cos \theta\right)’}{\cos^{2} \theta} \\\\ =&\displaystyle\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
$$\begin{align}\left( -\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}\right)’=&\left( \displaystyle\frac{-\cos \theta}{\sin \theta}\right)’ \\\\ =&\displaystyle\frac{\left( -\cos \theta\right)’\cdot \sin \theta +\cos \theta\cdot \left( \sin \theta\right)’}{\sin^{2} \theta} \\\\ =&\displaystyle\frac{\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{\sin^{2} \theta} \end{align}$$

微分の結果を逆にあてはめる。

$$\begin{align}\int \left( \displaystyle\frac{3}{\cos^{2} \theta}-\displaystyle\frac{2}{\sin^{2} \theta}\right) d\theta=&3\int \displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} d\theta-2\int \displaystyle\frac{1}{\sin^{2} \theta} d\theta\\\\ =&3\tan \theta-2\left( -\displaystyle\frac{1}{\tan \theta}\right)+\mathrm{C} \\\\ =&3\tan \theta+\displaystyle\frac{2}{\tan \theta}+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) \end{align}$$

こたえ

$$3\tan \theta+\displaystyle\frac{2}{\tan \theta}+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right)$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年12月31日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74