高校数学の「三角関数の不定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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KEYWORDS高校数学 , 不定積分 , 数学Ⅲ , 三角関数 , 数学検定準1級

問題

problem
以下の不定積分を求めよ。
$$\int \left( \frac{3}{\cos^{2} \theta}-\frac{2}{\sin^{2} \theta}\right) d\theta$$

微分はよいよい、積分はムズい。

Lukia_74

Lukia

分数型の積分は、対数に直すパターンがありますが、
三角関数までからんでいるとなると、複雑そうですよね。
入試問題でも、経過を問うことはしないと思うので、微分した結果を覚えて、その逆をあてはめて、積分にしてしまいましょう。

$$\begin{align}\left( \tan \theta\right)’=&\left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)’ \\\\ =&\frac{\left( \sin \theta\right)’\cdot \cos \theta-\sin \theta\cdot \left( \cos \theta\right)’}{\cos^{2} \theta} \\\\ =&\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta} \\\\ =&\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
$$\begin{align}\left( -\frac{1}{\tan \theta}\right)’=&\left( \frac{-\cos \theta}{\sin \theta}\right)’ \\\\ =&\frac{\left( -\cos \theta\right)’\cdot \sin \theta +\cos \theta\cdot \left( \sin \theta\right)’}{\sin^{2} \theta} \\\\ =&\frac{\sin^{2} \theta+\cos^{2} \theta}{\sin^{2} \theta}\\\\ =&\frac{1}{\sin^{2} \theta} \end{align}$$

微分の結果を逆にあてはめる。

$$\begin{align}\int \left( \frac{3}{\cos^{2} \theta}-\frac{2}{\sin^{2} \theta}\right) d\theta=&3\int \frac{1}{\cos^{2} \theta} d\theta-2\int \frac{1}{\sin^{2} \theta} d\theta\\\\ =&3\tan \theta-2\left( -\frac{1}{\tan \theta}\right)+\mathrm{C} \\\\ =&3\tan \theta+\frac{2}{\tan \theta}+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) \end{align}$$

こたえ

$$3\tan \theta+\frac{2}{\tan \theta}+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right)$$

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