高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。(その4)

2018年9月6日数と式「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検準2級

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プロローグ


2018年9月6日。
私は、自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずでした。

いつもお世話になっているPixabay(ピクサベイ)で、記事に使えそうな写真を探していたら、
突然、パソコンの画面が光りました。
あまりにまばゆいので、目を閉じ、目のあたりを手で覆いました。

そのうちに、まぶしい光はおさまりました。

おそるおそる目を開けて、また驚きました。

自宅にいたはずなのに、森の中にいたのです!

途方に暮れましたが、情報を得るため、ひらけた場所を探して歩くことにしました。

不安を振り払うようにひたすら歩くことに集中していましたが、背後から、ザザッ、ザザッという音は聞こえてきます。

(やだなぁ。クマとかだったらどうしよう。)

いえいえ、クマより恐ろしいかもしれません。
意を決してふりかえったら・・・

ぎゃぁあああああああ~~~~!!!

アロサウルスがいたのです。

有名な恐竜の映画でしたら、もっぱら人間は驚かされるわ、襲われるわ、食べられるわですが、
それとは勝手が違うようでした。

こっちも驚きましたが、同様にむこうも驚いたようです。

ギィエエエエエエエーーーー!!!

恐竜だけに、声も大きく、森に住むほかのいきものがその声に驚いて、ザワザワと森の葉っぱの音を立てて逃げました。

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Lukia

た、食べないで!
私は、食べてもおいしい歳じゃないからッ!
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アロサウルス

食わねぇよッ。
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Lukia

うそっ。しゃべった?しかも、日本語?
ん?もしかして、着ぐるみ?
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アロサウルス

着ぐるみじゃねぇ!本物だッ!!
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Lukia

し、失礼しましたッ!
というか、ここはどこですか?
私、さっきまで家にいたはずなのに、こんな場所にいて・・・。
よかったら、ひらけた場所まで案内してもらえませんか?
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アロサウルス

ひらけた場所?どうするんだ?
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Lukia

助けを求めて、家に帰るんです。
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アロサウルス

「助け」ねぇ・・・
よし、ことと次第によっちゃ、案内してやらないでもない。
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Lukia

ホントですか?
うわぁ~~~、助かりますぅ~。
ありがとうございますぅ~。
(ちょっと安心して我に返る)
して、あなたの言う、「ことと次第」とは?
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アロサウルス

オマエ、ゼッタイチデキルカ?
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Lukia

ん?
んん?
なんておっしゃいました?
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ディノ

だから、「ゼッタイチ」だよ。
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Lukia

ん?もしかして、数学の「絶対値」ですか?
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アロサウルス

そうだ。
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Lukia

なんとっ!!
恐竜が数学するなんて、どんなパラレルワールドですかッ!!
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アロサウルス

宿題が出てんだよッ!今度の試験範囲なんだよッ!
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Lukia

えええ~~~ッ!
アロサウルスさん、高校生なんですかッ?
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ディノ

オレは、「アロサウルス」さんぢゃねぇ。「ディノ」さんだ。
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Lukia

でぃ、でぃのさん・・・。
ま、とにかく年下ってことですね。
よござんしょ、お教えいたしますッ。

問題

$$Large vert x+3 vert+vert 2x-4 vert=8$$

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Lukia

ディノさん、この問題がわからないんですね。
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ディノ

そうだ。絶対値がひとつだけならまだわかったんだけどよ、
二つになったもんだから、わかんなくなっちゃったんだよ。
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Lukia

そうですか・・・
じゃ、パターン化してみませんか。
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ディノ

お、パターン化か。
こうすれば、解けるってのは、あれば楽でいいよな。
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Lukia

そうですよね。
じゃ、さっそくやってみましょう。

簡単な図を描こう。

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Lukia

ディノさん、こういう絶対値が二つあるような場合は、
こういう図を描いてください。
グラフ自体は、アバウトでオッケーです。

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ディノ

(x)軸を描いて、そこに下に凸になる直線のグラフをふたつ描けばいいんだな。
(x)軸より下の部分には、グラフがないのに、結構幅が取ってあるな。
なんでだ?
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Lukia

ここに、(x)の範囲に応じた直線の式を書いて、
最終的には筆算して、答えを求めていくからです。
要するに、計算スペースということになりますね。
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ディノ

ふぅん。じゃ、この図を描いて、計算スペースあけときゃいいわけだな。

x軸上にあるのはいつ?

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Lukia

ディノさん、私、ブログをやってまして、
ディノさんに出会う前に書いた記事に、
絶対値は、「(x)軸との距離」と読み替えましょう。って書いたんですが、
そのことは、わかってくれますか?
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ディノ

おう、いいぞ。
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Lukia

では、(vert x+3 vert=0)となる
(x)の値はわかりますか?
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ディノ

まてよ、やってみるぞ。
(vert x+3 vert=0)
( pm left( x+3right)=0)ってことだよな。
(x+3=0 より、x=-3)だし、
(-x-3=0 より、あ、これもx=-3)だ。
つまり、(x=-3)だな。
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Lukia

そうなんです。
ディノさん、ていねいにやってくれたけど、単純に(x+3=0)を解いていけばいいことになりますね。
それでは、もう一つの(vert 2x-4 vert=0)はどうですか?
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ディノ

(x=2)だな。
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Lukia

即答ですね。
ということで、先ほどの図に、これらの数字を書き込みます。

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Lukia

わかりやすいように、グラフも、数字も色分けして描いて(書いて)いますが、
試験とか自分で解くときは、鉛筆などでいいですよ。

範囲ごとに、式を書きこんでいく。

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Lukia

緑の線は、それぞれ(x=-3 と、x=2)を表しています。
これによって、三つの範囲に分けられました。
ひとまず、青の線、今回ですと(y=vert x+3 vert)にあたりますが、
点線と実線では式が違いますよね。
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ディノ

そうだな。
青の実線は、右肩上がりだから、傾きは正ということだから、
(y=x+3)だな。
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Lukia

ほぉ。
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ディノ

で、青の点線のほうは、右肩下がりだから、傾きは負。
だから、(y=-x-3)だ。
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Lukia

では、三つの範囲に、それぞれ書き込みましょう。
すると、以下のようになりますね。

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ディノ

なるほど。素直に書けばいいんだな。
ということは、赤い線のグラフも同じようにやればいいのか?
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Lukia

そうです。書き込めますか?
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ディノ

おう。こうだな。

筆算する。

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Lukia

おお、飲み込み早いんですね。
それでは、次の段階に進みます。
今回の問題は、絶対値と絶対値が+(プラス)でつながれていますね。
ですから、たし算の筆算をします。
ですから、こうなりますね。

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Lukia

ここまできたら、もう簡単です。
右辺の8を=(イコール)でつないで、方程式を解いてください。
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ディノ

えっ、それでいいのか?
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Lukia

はい。ひとまずはね。
範囲と対応しているかどうかは計算した後で考えればよいですから。

方程式を解く。

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ディノ

じゃ、図の左の範囲から順にやっていくぞ。
(-3x+1=8)
(-3x=7)
(x=-frac{7}{3}) だ。
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ディノ

図の真ん中の範囲は、
(-x+7=8)
(-x=1)
(x=-1) だ。
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ディノ

図の右の範囲だな。
(3x-1=8)
(3x=9)
(x=3) だ。
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Lukia

それらを図に書き込むと以下のようになりますね。

範囲と比較して答えを出す。

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Lukia

ディノさん、あらためて図を見てください。
解のだいたいの位置を矢印で示すとともに、解の値を同じ色の四角で囲んでいます。
方程式の解が、おかしいものはありませんか?

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ディノ

解がおかしいもの???
・・・
あっ、図の左の解がおかしいな。
解自体は、筆算の結果だから、四角は左の範囲にあるが、
矢印は、真ん中にあるぞ!
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Lukia

そうなんです。
これは、定義域((xの値の範囲))からはずれているので、解として正しくない(不適)となります。
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ディノ

なるほど。だいたいの解の位置を書き込めば、解として正しいかどうかの判断がスピーディにできるな。
オマエ、コレ、わかりやすいぞ。
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Lukia

はぁ、ありがとうございます。

こたえ。

$$Large vert x+3 vert+vert 2x-4 vert=8$$
$$Large begin{align}&x=-1 , x=3 end{align}$$
ちなみに、グラフはこのようになります。

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Lukia

緑の線、すなわち、(y=8)と紫の線、赤い線は交わっていますが、
青い線は緑の線よりも上にあるため、まったく交わっていませんね。

その後、ディノさんとの会話。

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ディノ

おおお~、これはいいぞ~~~!
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Lukia

よかったです!では、このやり方でどんどんがんばってくださいねっ。
では、案内をお願いします。
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ディノ

何言ってんだ。まだ問題がいろいろあるぞ。
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Lukia

えええ~?
ディノさん、理解が早いんですから、大丈夫ですよ~。
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ディノ

いや、まだだ。
一問教えたぐらいで、偉そうにすんな。
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Lukia

えええ~~~。
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ディノ

なんか、腹減ったなぁ。
どうだ、肉食いに行かねぇか?
オレ、いい店知ってるぜ。


有無を言わさずグングン進んでいくディノさんなのでした。

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