高校数学の「二次式を含む漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

読了時間: 約119

KEYWORDS高校数学 , 数列 , 漸化式 , 数学検定2級

問題

problem

\(a_1=1\quad , \ a_{n+1}=2a_n+3n^2+4n+5 \ \)で表される数列\(\lbrace a_n\rbrace\)の一般項\( \ a_n\)を求めよ。

$$\begin{align}b_n= a_n+pn^2+qn+r\quad とする\\\\\left( ただし, p \ はp \neq 0 \ の実数,\quad q \ ,r \ はいずれも実数\right) \end{align}$$
$$\begin{align}b_{n+1}=&2b_n\\\\ \left( a_{n+1}+p\left( n+1\right)^2+q\left( n+1\right)+r\right)=&2\left( a_n+pn^2+qn+r\right) \\\\ a_{n+1}+pn^2+2pn+p+qn+q+r=&2a_n+2pn^2+2qn+2r\\\\ a_{n+1}=&2a_n+pn^2+\left( q-2p\right)n+r-p-q\\\\ p=&3\\\\ q-2p=q-6=4\quad より \ q=&10\\\\ r-p-q=r-3-10=5\quad より \ r=&18 \end{align}$$
以上より
$$b_n=a_n+3n^2+10n+18\quad また \ b_1=1+3+10+18=32$$
$$\begin{align}b_{n+1}=&2b_n\quad より \\\\ b_n=&32\cdot 2^{n-1}=2^5\cdot 2^{n-1}=2^{n+4}\quad であるから, \\\\ a_n=&b_n-3n^2-10n-18 \\\\ =&2^{n+4}-\left( 3n^2+10n+18\right)\end{align}$$

こたえ


$$a_n=2^{n+4}-\left( 3n^2+10n+18\right)$$

カテゴリー