高校数学の「二次式を含む漸化式」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2018年12月30日2023年1月14日数列実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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$$\begin{align}b_n= a_n+pn^2+qn+r\quad とする\\\\\left( ただし, p \ はp \neq 0 \ の実数,\quad q \ ,r \ はいずれも実数\right) \end{align}$$
$$\begin{align}b_{n+1}=&2b_n\\\\ \left( a_{n+1}+p\left( n+1\right)^2+q\left( n+1\right)+r\right)=&2\left( a_n+pn^2+qn+r\right) \\\\ a_{n+1}+pn^2+2pn+p+qn+q+r=&2a_n+2pn^2+2qn+2r\\\\ a_{n+1}=&2a_n+pn^2+\left( q-2p\right)n+r-p-q\\\\ p=&3\\\\ q-2p=q-6=4\quad より \ q=&10\\\\ r-p-q=r-3-10=5\quad より \ r=&18 \end{align}$$
以上より
$$b_n=a_n+3n^2+10n+18\quad また \ b_1=1+3+10+18=32$$
$$\begin{align}b_{n+1}=&2b_n\quad より \\\\ b_n=&32\cdot 2^{n-1}=2^5\cdot 2^{n-1}=2^{n+4}\quad であるから, \\\\ a_n=&b_n-3n^2-10n-18 \\\\ =&2^{n+4}-\left( 3n^2+10n+18\right)\end{align}$$

こたえ

$$a_n=2^{n+4}-\left( 3n^2+10n+18\right)$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。