高校数学の「三角関数の最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

読了時間: 約122
KEYWORDS

問題

problem

\(\theta\)が\(-\frac{ \pi }{ 2 } \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\)を満たすときの
\(y=\tan^{2} \theta+k\tan \theta+3\)について、以下の問いに答えよ。
(1)\(\theta=\frac{ \pi }{ 4 }\)のとき、\(y=6+2\sqrt{2}\)である。
このときの実数\(k\)の値を求めよ。
(2)\(k\)が(1)で求めた値であるときの\(y\)の最小値を求めよ。

(1)は条件を式に代入すれば求められます。

Lukia_74

Lukia

\(\tan \frac{ \pi }{ 4 }=1\)であることを踏まえて、代入して計算します。

$$\begin{align}6+2\sqrt{2}=&1^2+k+3\\ k=&2+2\sqrt{2} \end{align}$$

(2)は平方完成して放物線の頂点を求める。

(1)より、
$$\begin{align}y=&\tan^{2} \theta+2\left( 1+\sqrt{2}\right)\tan \theta+3 \\ =&\lbrace \tan \theta+\left( 1+\sqrt{2}\right)\rbrace^2-\left( 1+\sqrt{2}\right)^2+3 \\ =&\lbrace \tan \theta+\left( 1+\sqrt{2}\right)\rbrace^2-2\sqrt{2}\\ &-\frac{ \pi }{ 2 } \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 } \ より\tan \theta \ はすべての実数を取るから,\\ &最小値は\quad -2\sqrt{2} \end{align}$$

こたえ


$$\begin{align}k=&2+2\sqrt{2} \\ 最小値:&-2\sqrt{2}\end{align}$$

カテゴリー