高校数学の「三角関数の最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年11月27日三角関数Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

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問題

problem

\(\theta\)が\(-\frac{ \pi }{ 2 } \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\)を満たすときの
\(y=\tan^{2} \theta+k\tan \theta+3\)について、以下の問いに答えよ。
(1)\(\theta=\frac{ \pi }{ 4 }\)のとき、\(y=6+2\sqrt{2}\)である。
このときの実数\(k\)の値を求めよ。
(2)\(k\)が(1)で求めた値であるときの\(y\)の最小値を求めよ。

(1)は条件を式に代入すれば求められます。

Lukia_74

Lukia

\(\tan \frac{ \pi }{ 4 }=1\)であることを踏まえて、代入して計算します。

$$\begin{align}6+2\sqrt{2}=&1^2+k+3\ k=&2+2\sqrt{2} \end{align}$$

(2)は平方完成して放物線の頂点を求める。

(1)より、
$$\begin{align}y=&\tan^{2} \theta+2\left( 1+\sqrt{2}\right)\tan \theta+3 \ =&\lbrace \tan \theta+\left( 1+\sqrt{2}\right)\rbrace^2-\left( 1+\sqrt{2}\right)^2+3 \ =&\lbrace \tan \theta+\left( 1+\sqrt{2}\right)\rbrace^2-2\sqrt{2}\ &-\frac{ \pi }{ 2 } \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 } \ より\tan \theta \ はすべての実数を取るから,\ &最小値は\quad -2\sqrt{2} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}k=&2+2\sqrt{2} \ 最小値:&-2\sqrt{2}\end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年11月27日三角関数Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

Posted by Lukia_74