高校数学の「三角関数の最小値」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
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[mathjax]
問題
\(\theta\)が\(-\frac{ \pi }{ 2 } \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\)を満たすときの
\(y=\tan^{2} \theta+k\tan \theta+3\)について、以下の問いに答えよ。
（1）\(\theta=\frac{ \pi }{ 4 }\)のとき、\(y=6+2\sqrt{2}\)である。
このときの実数\(k\)の値を求めよ。
（2）\(k\)が（1）で求めた値であるときの\(y\)の最小値を求めよ。
\(y=\tan^{2} \theta+k\tan \theta+3\)について、以下の問いに答えよ。
（1）\(\theta=\frac{ \pi }{ 4 }\)のとき、\(y=6+2\sqrt{2}\)である。
このときの実数\(k\)の値を求めよ。
（2）\(k\)が（1）で求めた値であるときの\(y\)の最小値を求めよ。
（1）は条件を式に代入すれば求められます。
Lukia
\(\tan \frac{ \pi }{ 4 }=1\)であることを踏まえて、代入して計算します。
$$\begin{align}6+2\sqrt{2}=&1^2+k+3\\\\ k=&2+2\sqrt{2} \end{align}$$
（2）は平方完成して放物線の頂点を求める。
(1)より、
$$\begin{align}y=&\tan^{2} \theta+2\left( 1+\sqrt{2}\right)\tan \theta+3 \\\\ =&\lbrace \tan \theta+\left( 1+\sqrt{2}\right)\rbrace^2-\left( 1+\sqrt{2}\right)^2+3 \\\\ =&\lbrace \tan \theta+\left( 1+\sqrt{2}\right)\rbrace^2-2\sqrt{2}\\\\ &-\frac{ \pi }{ 2 } \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 } \ より\\\\ \tan \theta \ はすべての実数を取るから,\\\\ &最小値は\quad -2\sqrt{2} \end{align}$$
こたえ
$$\begin{align}k=&2+2\sqrt{2} \\\\ 最小値：&-2\sqrt{2}\end{align}$$
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