高校数学の「マーク形式の数列」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
[mathjax]
$$\sum_{k=1}^{n}{ka_k}=n^3+3n^2+2n\quad であるとする.$$
\(a_1=[ \ ア \ ]\)であり,
\(a_n=[ \ イ \ ]\left( n+[ \ ウ \ ]\right)\)である.$$また,\quad \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{ka_k}}=\frac{n}{[ \ エ \ ]\left( n+[ \ オ \ ]\right)}\quad である.$$\(b_n=4^{a_n}\)とすると、
\(\log_{2}b_1+\log_{2}b_2+\log_{2}b_3+\cdots +\log_{2}b_n=[ \ カ \ ]n^2+[ \ キ \ ]n\)である.
\(a_na_{n-1}=c_n\)と定義し,\(a_0\)も\(a_n=[ \ イ \ ]\left( n+[ \ ウ \ ]\right)\)に従うものとすると,
$$\sum_{k=1}^{2^{\mathrm{N}+1}}{c_k}=[ \ クケ \ ]\cdot 2^{3\mathrm{N}}+[ \ コサ \ ]\cdot 2^{2\mathrm{N}}+[ \ シス \ ]\cdot 2^\mathrm{N}\quad である.$$
ア～ウまでを求める。
$$\begin{align}\mathrm{S}_n=&n^3+3n^2+2n\quad とする. \\\\ 1\cdot a_1=&\mathrm{S}_1\quad より, \\\\ a_1=&1+3+2=6\end{align}$$
$$\begin{align}n\cdot a_n=&\mathrm{S}_n-\mathrm{S}_{n-1}\quad より, \\\\ =&n^3+3n^2+2n-\left( n-1\right)^3-3\left( n-1\right)^2-2\left( n-1\right) \\\\ =&3n^2+3n\\\\ &両辺を \ n \ で割って,\\\\ a_n=&3\left( n+1\right)\end{align}$$
エ・オを求める。
$$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{ka_k}}=&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{k\cdot \left( k+1\right)}} \\\\ =&\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}{\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)} \\\\ =&\frac{1}{3}\lbrace \left( \frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\rbrace \\\\ =&\frac{1}{3}\left( 1-\frac{1}{n+1}\right)\\\\ =&\frac{n}{3\left( n+1\right)} \end{align}$$
$$\begin{align}b_n=&4^{a_n}\quad より, \\\\ \log_{2}b_n=&\log_{2}4^{a_n}=2a_n\end{align}$$
カ・キを求める。
$$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{\log_{2}b_k}=&2\sum_{k=1}^{n}{a_k} \\\\ =&2\times \frac{n}{2}\left( 6+3n+3\right) \\\\ =&3n^2+9n \end{align}$$
ク～スまでを求める。
$$\begin{align}c_n=&a_na_{n-1} \\\\ =&3\left( n+1\right)\cdot 3\left( n-1+1\right) \\\\ =&9\left( n^2+n\right) \end{align}$$
$$\begin{align}ここで,\quad 2^{\mathrm{N}+1}=&n\quad としておく. \\\\ 9\sum_{k=1}^{n}{\left( k^2+k\right)}=&9\lbrace \frac{1}{6}\left( 2n^3+3n^2+n\right)+\frac{\color{#0004fc}{3}n}{\color{#0004fc}{6}}\left( n+1\right)\rbrace \\\\ =&\frac{3}{2}\left( 2n^3+6n^2+4n\right) \\\\ =&3\left( n^3+3n^2+2n\right)\\\\ =&3\lbrace \left( 2^{\mathrm{N}+1}\right)^3+3\left( 2^{\mathrm{N}+1}\right)^2+2\cdot 2^{\mathrm{N}+1}\rbrace\\\\ =&3\left( 2^{3\mathrm{N}+3}+3\cdot 2^{2\mathrm{N}+2}+2^{\mathrm{N}+2}\right)\\\\ =&3\left( 8\cdot 2^{3\mathrm{N}}+12\cdot 2^{2\mathrm{N}}+4\cdot 2^{\mathrm{N}}\right) \\\\ =&24\cdot 2^{3\mathrm{N}}+36 \cdot 2^{2\mathrm{N}}+12\cdot 2^{\mathrm{N}} \end{align}$$
こたえ
| ア | カ | キ | シ | ス | |||
| $$6$$ | $$3$$ | $$9$$ | $$1$$ | $$2$$ | |||
| イ | ウ | ク | ケ | ||||
| $$3$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$4$$ | ||||
| エ | オ | コ | サ | ||||
| $$3$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$6$$ | ||||
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