高校数学の「数学Ⅲ範囲の微分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月26日微分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題

\(\theta\)が\(0 \lt \displaystyle\frac{\theta}{2} \lt \displaystyle\frac{ \pi }{ 2 }\)をみたすとき、

\(60\sqrt{1-\cos^{2} \displaystyle\frac{\theta}{2}}\cdot \cos^{3} \displaystyle\frac{\theta}{2}\) の最大値を求めよ。

$$\begin{align}与式=&60\sqrt{\sin^{2} \displaystyle\frac{\theta}{2}}\cdot \cos \displaystyle\frac{\theta}{2}\cdot \cos^{2} \displaystyle\frac{\theta}{2} \\\\ =&15\cdot 2\sin \displaystyle\frac{\theta}{2}\cos \displaystyle\frac{\theta}{2}\cdot 2\cos^{2} \displaystyle\frac{\theta}{2} \\\\ =&15\sin 2\cdot \displaystyle\frac{\theta}{2}\left( \cos 2\cdot \displaystyle\frac{\theta}{2}+1\right)\\\\ =&15\sin \theta\left( \cos \theta+1\right) \quad \left( 0 \lt \theta \lt \pi\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

最大値や最小値を求める問題の場合、どんなグラフを描くかがわかれば、視覚的に一発で(?)把握できそうですよね。
そこで、出てくる操作が「微分」です。
「微分」をしていくことで、極値の有無や、増減がわかったり、曲線の増減について、上に凸か、下に凸かなどもわかります。
数学ⅡB・または数学Ⅲ範囲で「最大値・最小値」という言葉が出てきたら、「微分」して増減表を書ける可能性があります。

$$\begin{align}f\left( \theta\right)=&15\sin \theta\left( \cos \theta+1\right) \quad とおく.\\\\ f’\left( \theta\right)=&15\cos \theta\left( \cos \theta+1\right)+15\sin \theta\left( -\sin \theta\right) \\\\ =&15\left( \cos^{2} \theta+\cos \theta-\sin^{2} \theta\right) \\\\ =&15\left( 2\cos^{2} \theta+\cos \theta-1\right)\\\\ =&15\left( \cos \theta+1\right)\left( 2\cos \theta-1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}ここで、f’\left( \theta\right)=&0\quad となるのは, \\\\ \cos \theta=&-1 \ , \ \cos \theta=\displaystyle\frac{1}{2} \\\\ &0 \lt \theta \lt \pi\quad より\\\\ \theta=&\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 } \ , \ \theta=\pi \end{align}$$
増減表は以下の通り。

$$\theta$$ $$0$$   $$\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 }$$   $$\pi$$
$$f’\left( \theta\right)$$ / $$+$$ $$0$$ $$-$$ $$0$$
$$f\left( \theta\right)$$ $$\left( 0\right)$$ $$\displaystyle\frac{15\sqrt{3}+3}{2}$$ $$\left( 0\right)$$

ゆえに
$$\begin{align}最大値:&\displaystyle\frac{15\sqrt{3}+3}{2}\quad \\\\ \theta=&\displaystyle\frac{ \pi }{ 3 } \\\\ \displaystyle\frac{\theta}{2}=&\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\quad のとき \end{align}$$

こたえ

$$最大値:\displaystyle\frac{15\sqrt{3}+3}{2}\quad \displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{ \pi }{ 6 }\quad のとき$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年12月26日微分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74