高校数学の「数学Ⅲ範囲の微分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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KEYWORDS高校数学 , 微分 , 数学検定準1級

問題

problem

 

\(\theta\)が\(0 \lt \frac{\theta}{2} \lt \frac{ \pi }{ 2 }\)をみたすとき、

\(60\sqrt{1-\cos^{2} \frac{\theta}{2}}\cdot \cos^{3} \frac{\theta}{2}\) の最大値を求めよ。

$$\begin{align}与式=&60\sqrt{\sin^{2} \frac{\theta}{2}}\cdot \cos \frac{\theta}{2}\cdot \cos^{2} \frac{\theta}{2} \\\\ =&15\cdot 2\sin \frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}\cdot 2\cos^{2} \frac{\theta}{2} \\\\ =&15\sin 2\cdot \frac{\theta}{2}\left( \cos 2\cdot \frac{\theta}{2}+1\right)\\\\ =&15\sin \theta\left( \cos \theta+1\right) \quad \left( 0 \lt \theta \lt \pi\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

最大値や最小値を求める問題の場合、どんなグラフを描くかがわかれば、視覚的に一発で(?)把握できそうですよね。
そこで、出てくる操作が「微分」です。
「微分」をしていくことで、極値の有無や、増減がわかったり、曲線の増減について、上に凸か、下に凸かなどもわかります。
数学ⅡB・または数学Ⅲ範囲で「最大値・最小値」という言葉が出てきたら、「微分」して増減表を書ける可能性があります。

$$\begin{align}f\left( \theta\right)=&15\sin \theta\left( \cos \theta+1\right) \quad とおく.\\\\ f’\left( \theta\right)=&15\cos \theta\left( \cos \theta+1\right)+15\sin \theta\left( -\sin \theta\right) \\\\ =&15\left( \cos^{2} \theta+\cos \theta-\sin^{2} \theta\right) \\\\ =&15\left( 2\cos^{2} \theta+\cos \theta-1\right)\\\\ =&15\left( \cos \theta+1\right)\left( 2\cos \theta-1\right) \end{align}$$
$$\begin{align}ここで、f’\left( \theta\right)=&0\quad となるのは, \\\\ \cos \theta=&-1 \ , \ \cos \theta=\frac{1}{2} \\\\ &0 \lt \theta \lt \pi\quad より\\\\ \theta=&\frac{ \pi }{ 3 } \ , \ \theta=\pi \end{align}$$
増減表は以下の通り。

$$\theta$$ $$0$$ $$\frac{ \pi }{ 3 }$$ $$\pi$$
$$f’\left( \theta\right)$$ / $$+$$ $$0$$ $$-$$ $$0$$
$$f\left( \theta\right)$$ $$\left( 0\right)$$ $$\frac{15\sqrt{3}+3}{2}$$ $$\left( 0\right)$$

ゆえに
$$\begin{align}最大値:&\frac{15\sqrt{3}+3}{2}\quad \\\\ \theta=&\frac{ \pi }{ 3 } \\\\ \frac{\theta}{2}=&\frac{ \pi }{ 6 }\quad のとき \end{align}$$

こたえ

$$最大値:\frac{15\sqrt{3}+3}{2}\quad \frac{\theta}{2}=\frac{ \pi }{ 6 }\quad のとき$$

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