高校数学の「三角関数の周期など」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS高校数学 , 三角関数 , 周期 , 数学検定2級

問題

problem

関数\( \ y=\mathrm{A}\sin \mathrm{B}\theta \ \)の周期は \( \ {\frac{ 4 }{ 3 }}\pi \ \)であり、 \( \ \theta={\frac{ 5 }{ 9 }}\pi \ \)のとき\( \ y=2 \ \)である。
正の定数A , Bの値を求めよ。
Lukia_74

Lukia

今日(2019年1月19日)は、いよいよ大学入試センター試験ですね。
結局、日常生活の方に手を取られてしまい、受験生応援の記事を書けなかったので、せめて一問解いてみようと思います。

周期は、2π/B で求められます。

Lukia_74

Lukia

受験生はそれどころじゃないと思いますが、
ちょっと時間のあるプレ受験生の方などは、\( \ y=\sin \theta \ \)と\( \ y=\sin 2\theta \ \)のグラフを描き比べてみるといいと思います。
\( \ y=\sin \theta \ \)のグラフは、ゼロから始まり、\( \ 2\pi \ \)にいたるまで、ひとつの山とひとつの谷をのぼりおりします。(周期は\( \ 2\pi \ \))
それに対し、\( \ y=\sin 2\theta \ \)のグラフは、\( \ 2\pi \ \)にいたるまで、ふたつの山とふたつの谷をのぼりおりします。(周期は\( \ \pi \ \))
つまり、三角関数の周期(山ひとつ、谷ひとつ)は、\( \ \frac{2\pi}{\mathrm{B}} \ \)で求められます。

$$\begin{align}\frac{2\pi}{B}=&{\frac{ 4 }{ 3 }}\pi \\ \\ 6\pi=&4\mathrm{B}\pi \\ \\ \mathrm{B}=&\frac{3}{2} \end{align}$$

Aはy軸方向の拡大率を示しています。

Lukia_74

Lukia

これも、お時間のある方は、ぜひグラフを描き比べてみてください。
\( \ y=\sin \theta \ \)に比べると、\( \ y=2\sin \theta \ \)のグラフは、山の高さが2倍、谷の深さが2倍になっていると思います。
つまり今回の問題の\( \ \mathrm{A} \ \)は、\( \ y \ \)軸方向への拡大率を示しています。

$$\begin{align}2=&\mathrm{A}\sin \frac{3}{2}\theta \\ \\ 2=&\mathrm{A}\sin \frac{3}{2}\cdot {\frac{ 5 }{ 9 }}\pi \\ \\ \frac{2}{\mathrm{A}}=&\sin {\frac{ 5 }{ 6 }}\pi=\frac{1}{2}\\ \\ \mathrm{A}=&4\end{align}$$

こたえ


$$\mathrm{A}=4\quad ,\quad \mathrm{B}=\frac{3}{2}$$

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