高校数学の「放物線の平行移動と実数解の条件」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , 放物線 , 二次関数 , 平行移動 , 頂点 , 数学検定準2級

問題

problem

放物線\(y=x^2\)を頂点が直線\(y=-x-2\)上にあるように平行移動した放物線について、次の問いに答えよ。ただし、平行移動した放物線の頂点の\(x\)座標を\(a\)とする。
(1) \(a=1\)のとき、その放物線の方程式を求めよ。
(2) 平行移動した放物線が原点を通るとき、その放物線の方程式を求めよ。
(3) 放物線と\(x\)軸とが異なる2点で交わり、2交点の\(x\)座標がともに1より大きくなるような\(a\)の値の範囲を求めよ。

放物線の平行移動は「頂点」で考える。

Lukia_74

Lukia

放物線の式を見たら、平方完成して頂点や軸の位置を把握してしまいましょう。
曲線で平行移動させると、頭が混乱してしまいます。


(1)
$$\begin{align}条件より,平行移動後の頂点は\quad &\left( a \ , \ -a-2\right)\quad と表せる. \\\\ また、平行移動後の放物線は\quad y=&\left( x-a\right)^2-a-2\quad で表される.\\\\ \\\\ a=1のとき,頂点は \ &\left( 1 \ , \ -3\right)\quad であるから,\\\\ y=\left( x-1\right)^2-3=& x^2-2x-2\end{align}$$

(2)
$$\begin{align}平行移動した放物線 \ y=&\left( x-a\right)^2-a-2\quad が原点を通るから, \\\\ &a^2-a-2=0 \\\\ これを解いて\quad \quad &a=2 \ , \ a=-1\end{align}$$
$$\begin{align}a=&2\quad のとき\quad \quad y=\left( x-2\right)^2-4=x^2-4x \\\\ a=&-1\quad のとき\quad \quad y=\left( x+1\right)^2-1=x^2+2x \end{align}$$
(3)
$$\begin{align}f\left( x\right)=&\left( x-a\right)^2-a-2\quad とする. \\\\放物線と&x軸とが異なる2点で交わるから, \\\\ -a-2 \lt &0\quad \cdots \ ①\\\\ 2交点の&x座標がともに1より大きくなるためには,\\\\ 1 \lt &a\quad \left(軸の位置\right) かつ\quad f\left( 1\right) \gt 0\quad である必要がある.\quad \cdots \ ② \end{align}$$

$$\begin{align}-2 \lt &a\quad \cdots \ ① \\\\ \left( 1-a\right)^2-a-2 \gt &0\\\\ a^2-3a-1 \gt &0\\\\ &a \lt \frac{3-\sqrt{13}}{2} \ , \ \frac{3+\sqrt{13}}{2} \lt a \\\\ ただし \ &1 \lt a \ であるから, \frac{3+\sqrt{13}}{2} \lt a\quad \cdots \ ②\end{align}$$
$$① \ , \ ② \ より\quad \quad \frac{3+\sqrt{13}}{2} \lt a$$

こたえ


$$\begin{align}\left( 1\right)\quad \quad y=&x^2-2x-2 \\\\ \left( 2\right)\quad \quad y=&x^2-4x \\\\ y=&x^2+2x\\\\ \left( 3\right)\quad \quad & \frac{3+\sqrt{13}}{2} \lt a \end{align}$$

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