実数解をもとに定数を求める

二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級,数検準2級

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問題
放物線\( \ y=x^2+6x+5 \ \)と直線\( \ y=2x+k \ \)が異なる2点\( \ \mathrm{A},\mathrm{B} \ \)で交わり、線分\( \ \mathrm{AB} \ \)の長さが\( \ 2\sqrt{2} \ \)であるとき、定数\( \ k \ \)の値は\( \ \displaystyle\frac{\rm{ア}}{\rm{イ}} \ \)である。(東邦大学医学部 2015年)

解法

放物線と直線は2つの交点を持つから、
$$\begin{align}x^2+6x+5=&2x+k \\\\ x^2+4x+5-k=&0\quad \cdots \ \rm{①} \end{align}$$ ①で求まる2つの実数解の値をそれぞれ\( \ \alpha,\beta \ \)とする。
これにより2点はそれぞれ \( \ \mathrm{A}\left( \alpha,2\alpha+k\right) \ ,\mathrm{B}\left( \beta,2\beta+k\right)\ \)と表せる。
$$\begin{align}\left( x-\alpha\right)\left( x-\beta\right)=&0 \\\\ x^2-\left( \alpha+\beta\right)+\alpha\beta=&0 \\\\ \rm{①と}&\rm{比較して }\\\\ \alpha+\beta=&-4\\\\ \alpha\beta=&5-k\end{align}$$ 線分\( \ \mathrm{AB} \ \)の長さが\( \ 2\sqrt{2} \ \)であることより
$$\begin{align}\mathrm{AB}^2=\left( \beta-\alpha\right)^2+\left( 2\beta+k-2\alpha-k\right)^2=&8 \\\\ 5\left( \beta-\alpha\right)^2=&8 \\\\ 5\lbrace \left( \alpha+\beta\right)^2-4\alpha\beta\rbrace=&8\\\\ 5\lbrace 16-4\left( 5-k\right)\rbrace=&8\\\\ 5\left( -4+4k\right)=&8\\\\ -1+k=&\frac{2}{5}\\\\ k=&\frac{7}{5} \end{align}$$

こたえ

\( \ k=\displaystyle\frac{7}{5} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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