高校数学の「分数型の不定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

tan θの微分ができるようになっておこう。

Lukia
は、確実に正確に覚えておきましょう。

Lukia
\(\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}\)へと導いています。
$$\begin{align}1+\tan^{2} \theta=&1+\displaystyle\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\displaystyle\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
解法
$$\begin{align}x=&\tan \theta\quad とする. \\\\ 両辺を&x \ で微分する. \\\\ 1=&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}\cdot \displaystyle\frac{d\theta}{dx} \\\\ dx=&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \end{align}$$
また、
$$\begin{align}1+x^2=&1+\tan^{2} \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
以上より、
$$\begin{align}与式=&\int \left( \cos^{2} \theta\right)^2\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \\\\ =&\int \cos^{2} \theta \ d\theta \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\int \left( 1+\cos 2\theta \right) \ d\theta\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2\theta\right] \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) \end{align}$$
こたえ
$$\displaystyle\frac{1}{2}\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) $$