高校数学の「分数型の不定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月25日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
$$不定積分\quad \int \displaystyle\frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx\quad を求めよ。$$

tan θの微分ができるようになっておこう。

Lukia_74

Lukia

$$\left( \tan \theta\right)’=1+\tan^{2} \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}$$
は、確実に正確に覚えておきましょう。
Lukia_74

Lukia

ちなみに、以下のような変形をさせて、
\(\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}\)へと導いています。
$$\begin{align}1+\tan^{2} \theta=&1+\displaystyle\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\displaystyle\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$

解法

$$\begin{align}x=&\tan \theta\quad とする. \\\\ 両辺を&x \ で微分する. \\\\ 1=&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}\cdot \displaystyle\frac{d\theta}{dx} \\\\ dx=&\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \end{align}$$
また、
$$\begin{align}1+x^2=&1+\tan^{2} \theta=\displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
以上より、
$$\begin{align}与式=&\int \left( \cos^{2} \theta\right)^2\cdot \displaystyle\frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \\\\ =&\int \cos^{2} \theta \ d\theta \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\int \left( 1+\cos 2\theta \right) \ d\theta\\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\left[\theta+\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2\theta\right] \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{2}\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) \end{align}$$

こたえ

$$\displaystyle\frac{1}{2}\theta+\displaystyle\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) $$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年12月25日積分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74