高校数学の「分数型の不定積分」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
読了時間: 約1分55秒
KEYWORDS高校数学 , 積分 , 置換積分 , 数学検定準1級
問題
$$不定積分\quad \int \frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx\quad を求めよ。$$
tan θの微分ができるようになっておこう。
Lukia
$$\left( \tan \theta\right)’=1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta}$$
は、確実に正確に覚えておきましょう。
は、確実に正確に覚えておきましょう。
Lukia
ちなみに、以下のような変形をさせて、
\(\frac{1}{\cos^{2} \theta}\)へと導いています。
$$\begin{align}1+\tan^{2} \theta=&1+\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
\(\frac{1}{\cos^{2} \theta}\)へと導いています。
$$\begin{align}1+\tan^{2} \theta=&1+\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
解法
$$\begin{align}x=&\tan \theta\quad とする. \\ 両辺を&x \ で微分する. \\ 1=&\frac{1}{\cos^{2} \theta}\cdot \frac{d\theta}{dx} \\ dx=&\frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \end{align}$$
また、
$$\begin{align}1+x^2=&1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
以上より、
$$\begin{align}与式=&\int \left( \cos^{2} \theta\right)^2\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \\ =&\int \cos^{2} \theta \ d\theta \\ =&\frac{1}{2}\int \left( 1+\cos 2\theta \right) \ d\theta\\ =&\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right] \\ =&\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) \end{align}$$
こたえ
$$\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) $$
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