高校数学の「分数型の不定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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KEYWORDS高校数学 , 積分 , 置換積分 , 数学検定準1級

問題

problem

$$不定積分\quad \int \frac{1}{\left( 1+x^2\right)^2} dx\quad を求めよ。$$

tan θの微分ができるようになっておこう。

Lukia_74

Lukia

$$\left( \tan \theta\right)’=1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta}$$
は、確実に正確に覚えておきましょう。
Lukia_74

Lukia

ちなみに、以下のような変形をさせて、
\(\frac{1}{\cos^{2} \theta}\)へと導いています。
$$\begin{align}1+\tan^{2} \theta=&1+\frac{\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\frac{\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta}{\cos^{2} \theta}
\\\\ =&\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$

解法

$$\begin{align}x=&\tan \theta\quad とする. \\\\ 両辺を&x \ で微分する. \\\\ 1=&\frac{1}{\cos^{2} \theta}\cdot \frac{d\theta}{dx} \\\\ dx=&\frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \end{align}$$
また、
$$\begin{align}1+x^2=&1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta} \end{align}$$
以上より、
$$\begin{align}与式=&\int \left( \cos^{2} \theta\right)^2\cdot \frac{1}{\cos^{2} \theta}d\theta \\\\ =&\int \cos^{2} \theta \ d\theta \\\\ =&\frac{1}{2}\int \left( 1+\cos 2\theta \right) \ d\theta\\\\ =&\frac{1}{2}\left[\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\right] \\\\ =&\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) \end{align}$$

こたえ


$$\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\mathrm{C}\quad \quad \left( \mathrm{C} \ は積分定数\right) $$

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