高校数学の「メネラウスの定理」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

図形と計量Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

読了時間: 約156

KEYWORDS

問題

problem

 

下の図の\(\triangle \mathrm{ABC}\)において、
\(\mathrm{PB}:\mathrm{BC}=1:2\) , \(\mathrm{CR}:\mathrm{RA}=4:3\)である。
\(\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}\)を求めよ。

唱えよ!そしてなぞれ!

Lukia_74

Lukia

「メネラウスの定理」ということを覚えても、
使えなければ意味がありません。
私は、「!」と呪文のように唱えながら、図の上をなぞって覚えました。
「メネラウスの定理」

$$\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RC}}\times \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PB}}\times \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}=1$$

あれ?そのままじゃ解けない?

Lukia_74

Lukia

図形を見れば、「メネラウスの定理」を使うことを思いつきます。
上の図で、頂点\(\mathrm{A}\)から始まり、再び頂点\(\mathrm{A}\)に戻ってくるように「メネラウスの定理」をあてはめ、
「子・母・子・母・・・」と唱えながら、図形をなぞってみました。
しかし、頂点\(\mathrm{A}\)から始めると、比を求める2つの線分を通らず、灰色のまま残ってしまいました。
Lukia_74

Lukia

通常、「メネラウスの定理」を練習させる問題は、図の上方にある頂点からくるっと一周するように作られているのですが、
この問題は、ちょっとあまのじゃくですね。
今回は、頂点\(\mathrm{P}\)から始めて、再び頂点\(\mathrm{P}\)に戻ってくるように「メネラウスの定理」をあてはめなければなりませんでした。
図の上方から一周するのに慣れている人、また、「メネラウスの定理」そのものが習いたてで余裕のない人は、時計回りに\(90^{\circ}\)回転させてみましょう。
首を横に曲げるより、解きやすくなりますよ。

ではあらためて「メネラウスの定理」にあてはめていく。

Lukia_74

Lukia

まずは、わかっている線分比を書き込んでみます。

Lukia_74

Lukia

呪文を唱えながら、線分の一部を書き換えます。(笑)

Lukia_74

Lukia

あとは、「呪文」を数学語に変えましょう。

「メネラウスの定理」より
$$\begin{align}&\frac{\mathrm{PB}}{\mathrm{BC}}\times \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{AR}}\times \frac{\mathrm{RQ}}{\mathrm{QP}}=1 \\\\ &\frac{1}{2}\times \frac{7}{3}\times \frac{\mathrm{RQ}}{\mathrm{QP}}=1 \\\\ \\\\ &\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}=7:6 \end{align}$$

こたえ

$$\mathrm{PQ}:\mathrm{QR}=7:6$$

カテゴリー