高校数学の「絶対値がらみの三角関数の合成」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2021年7月12日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

「高校数学の「絶対値がらみの三角関数の合成」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)」のアイキャッチ画像
読了時間: 約256

[mathjax]

問題

\( \ y=\vert 1-\sin x+\sqrt{3}\cos x \vert \ \)の
\( \ 0 \leq x \lt \pi \ \) における値域を求めよ。

解法

三角関数の合成

Lukia_74
Lukia
まずは、絶対値の中にある三角関数を合成してしまいましょう。
$$\begin{align}1-\sin x+\sqrt{3}\cos x=&1+\sqrt{\left( -1\right)^2+\left( \sqrt{3}\right)^2}\sin \left( x+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) \\\\ =&1+2\sin \left( x+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) \end{align}$$

yc-220の三角関数の合成の図
Lukia_74
Lukia
三角関数の合成の方法はいろいろあるのですが、
私の場合は、\( \ \sin x \ \)の係数\( \ −1 \ \)を横に、
\( \ \cos x \ \)の係数\( \ \sqrt{3} \ \)を縦とする直角三角形を作成し、
斜辺と横の半直線がなす角を求めています。

定義域から絶対値を考えずに値域を求める

Lukia_74
Lukia
定義域 \( \ 0 \leq x \lt \pi \ \) を変形して、
ひとまず絶対値を考えずに値域を求めてみます。
$$\begin{align}0 \leq &x \lt \pi \\\\ {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \leq &x+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \lt \pi+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \end{align}$$
yc-220の定義域を単位円上に示した図
Lukia_74
Lukia
定義域は、上の図の赤い弧が示すところとなります。
この場合、最も大きい(高い)値をとるのは、 \( \ {\frac{ 2 }{ 3 }}\pi \ \)のとき。
最も小さい(低い)値をとるのは、\( \ {\frac{ 3 }{ 2 }}\pi \ \)のときですね。
単位円より $$\begin{align}-1 \leq &\sin \left( x+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \\\\ -2 \leq &2\sin \left( x+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) \leq \sqrt{3} \\\\ -1 \leq &1+2\sin \left( x+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) \leq 1+\sqrt{3} \end{align}$$

ようやく絶対値を考える

Lukia_74
Lukia
絶対値とは、「\( \ 0 \ \)からの距離」ですから、 距離(大きさ)に負はありませんね。
(負は、方向を表していると考えるとよいでしょう)
絶対値を考えない場合は、\( \ -1 \leq 1+2\sin \left( x+{\frac{ 2 }{ 3 }}\pi\right) \leq 1+\sqrt{3} \ \)でよいのですが、
絶対値を考えるなら、\( \ −1 \ \)を\( \ 0 \ \)に直す必要がありますね。

\( \ \vert -1 \vert \ \)と\( \ \vert 1+\sqrt{3} \vert \ \)の大小比較をする。
$$\begin{align}\vert 1+\sqrt{3} \vert-\vert -1 \vert=&1+\sqrt{3}-1 \\\\ =&\sqrt{3} \\\\ \\\\ 1 \lt &\sqrt{3} \lt 2\quad より \\\\ \\\\ 明らかに&\sqrt{3} \gt 0\\\\ ゆえに&\vert 1+\sqrt{3} \vert \gt \vert -1 \vert \end{align}$$ ゆえに求める値域は $$0 \leq y \leq \sqrt{3}+1$$
Lukia_74
Lukia
本来、上記のような絶対値の大小比較をする必要はありません。
(暗算してもらえばいいだけです)
しかし、絶対値がない値域の最小値と最大値の大小関係がそのまま、絶対値の大小関係になるとは限りませんので、頭の中で大小比較をしてください。
最小値がめちゃくちゃ小さい場合、最小値と0との距離(絶対値)が、最大値と0との距離(絶対値)よりも大きい場合がありますからね。

こたえ

$$0 \leq y \leq \sqrt{3}+1$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー

2021年7月12日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

Posted by Lukia_74