高校数学の「絶対値記号を含む積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 積分 , 定積分 , 絶対値 , 数学検定2級

問題

problem

 

関数\(f\left( a\right)\)を
$$f\left( a\right)=\int_{0}^{1} \vert \left( x-1\right)\left( x-a\right) \vert dx\quad \left( a \geqq 0\right)$$
で定義するとき, \(f\left( a\right)\)を \( \ a \ \)の式で表せ.

$$\begin{align}\mathrm{F}\left( x\right)=&\int \ \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \ とする. \\\\ \\\\ \mathrm{F}\left( x\right)=&\frac{1}{3}x^3-\frac{\left( a+1\right)}{2}x^2+ax+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C}は積分定数\right) \end{align}$$

ⅰ) a=0 のとき


$$\begin{align}f\left( a\right)=&-\int_{0}^{1} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \\\\ =&-\mathrm{F}\left( 1\right)+\mathrm{F}\left( 0\right) \\\\ =&\frac{1}{6} \end{align}$$

ⅱ) 0<a<1 のとき


$$\begin{align}f\left( a\right)=&\int_{0}^{a} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx-\int_{a}^{1} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \\\\ =&2\mathrm{F}\left( a\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)-\mathrm{F}\left( 0\right) \\\\ =&-\frac{1}{3}a^3+a^2-\frac{a}{2}+\frac{1}{6} \end{align}$$

ⅲ) a=1 のとき


$$\begin{align}f\left( a\right)=&\int_{0}^{1} \left( x-1\right)^2 dx \\\\ =&\frac{1}{3}\end{align}$$

ⅳ) a>1 のとき


$$\begin{align}f\left( a\right)=&\int_{0}^{1} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \\\\ =&\mathrm{F}\left( 1\right)-\mathrm{F}\left( 0\right) \\\\ =&\frac{3a-1}{6} \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ちなみに、\( \ f\left( a\right) \ \)のグラフは以下のようになります。
\( \ 0 \leqq a \leqq 1 \ \)は曲線となり、\( \ 1 \lt a \ \)では、右上がりの直線となっています。

こたえ

省略

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