高校数学の「絶対値記号を含む積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年1月16日微分と積分実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題
関数\( \ f\left ( a\right ) \ \)を
$$f\left ( a\right )=\int _{0}^{1} \vert \left ( x-1\right )\left ( x-a\right ) \vert dx\quad \left ( a \geqq 0\right )$$
で定義するとき, \( \ f\left ( a\right )\ \)を \( \ a \ \) の式で表せ.

$$\begin{align}\mathrm{F}\left ( x\right )=&\int \left ( x-1\right )\left ( x-a\right ) dx とする. \\ \\ \mathrm{F}\left ( x\right )=&\displaystyle\frac {1}{3}x^3-\displaystyle\frac {\left ( a+1\right )}{2}x^2+ax+\mathrm{C}\quad \left ( \mathrm{C}は積分定数\right ) \end{align}$$

ⅰ) a=0 のとき


$$\begin{align}f\left ( a\right )=&-\int _{0}^{1} \left ( x-1\right )\left ( x-a\right ) dx \\ =&-\mathrm{F}\left ( 1\right )+\mathrm{F}\left ( 0\right ) \\ =&\displaystyle\frac {1}{6} \end{align}$$

ⅱ) 0<a<1 のとき


$$\begin{align}f\left ( a\right )=&\int _{0}^{a} \left ( x-1\right )\left ( x-a\right ) dx-\int _{a}^{1} \left ( x-1\right )\left ( x-a\right ) dx \\ =&2\mathrm{F}\left ( a\right )-\mathrm{F}\left ( 1\right )-\mathrm{F}\left ( 0\right ) \\ =&-\displaystyle\frac {1}{3}a^3+a^2-\displaystyle\frac {a}{2}+\displaystyle\frac {1}{6} \end{align}$$

ⅲ) a=1 のとき


$$\begin{align}f\left ( a\right )=&\int _{0}^{1} \left ( x-1\right )^2 dx \\ =&\displaystyle\frac {1}{3}\end{align}$$

ⅳ) a>1 のとき


$$\begin{align}f\left ( a\right )=&\int _{0}^{1} \left ( x-1\right )\left ( x-a\right ) dx \\ =&\mathrm{F}\left ( 1\right )-\mathrm{F}\left ( 0\right ) \\ =&\displaystyle\frac {3a-1}{6} \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ちなみに、 \( \ f\left ( a\right ) \ \) のグラフは以下のようになります。
\( \ 0 \leqq a \leqq 1 \ \) は曲線となり、 \( \ 1 \lt a \ \) では、右上がりの直線となっています。

こたえ

省略

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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