高校数学の「絶対値記号を含む積分」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
問題
$$f\left( a\right)=\int_{0}^{1} \vert \left( x-1\right)\left( x-a\right) \vert dx\quad \left( a \geqq 0\right)$$
で定義するとき, \(f\left( a\right)\)を \( \ a \ \)の式で表せ.
$$\begin{align}\mathrm{F}\left( x\right)=&\int \ \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \ とする. \\\\ \\\\ \mathrm{F}\left( x\right)=&\frac{1}{3}x^3-\frac{\left( a+1\right)}{2}x^2+ax+\mathrm{C}\quad \left( \mathrm{C}は積分定数\right) \end{align}$$
ⅰ） a=0 のとき
$$\begin{align}f\left( a\right)=&-\int_{0}^{1} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \\\\ =&-\mathrm{F}\left( 1\right)+\mathrm{F}\left( 0\right) \\\\ =&\frac{1}{6} \end{align}$$
ⅱ） 0＜a＜1 のとき
$$\begin{align}f\left( a\right)=&\int_{0}^{a} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx-\int_{a}^{1} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \\\\ =&2\mathrm{F}\left( a\right)-\mathrm{F}\left( 1\right)-\mathrm{F}\left( 0\right) \\\\ =&-\frac{1}{3}a^3+a^2-\frac{a}{2}+\frac{1}{6} \end{align}$$
ⅲ） a=1 のとき
$$\begin{align}f\left( a\right)=&\int_{0}^{1} \left( x-1\right)^2 dx \\\\ =&\frac{1}{3}\end{align}$$
ⅳ） a＞1 のとき
$$\begin{align}f\left( a\right)=&\int_{0}^{1} \left( x-1\right)\left( x-a\right) dx \\\\ =&\mathrm{F}\left( 1\right)-\mathrm{F}\left( 0\right) \\\\ =&\frac{3a-1}{6} \end{align}$$
Lukia
\( \ 0 \leqq a \leqq 1 \ \)は曲線となり、\( \ 1 \lt a \ \)では、右上がりの直線となっています。
こたえ
省略
