高校数学の「絶対値記号を含む積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2019年1月16日微分と積分Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 積分 , 定積分 , 絶対値 , 数学検定2級

問題

problem

 

関数(fleft( aright))を
$$fleft( aright)=int_{0}^{1} vert left( x-1right)left( x-aright) vert dxquad left( a geq 0right)$$
で定義するとき, (fleft( aright))を ( a )の式で表せ.

$$begin{align}mathrm{F}left( xright)=&int left( x-1right)left( x-aright) dx とする. \\ \\ mathrm{F}left( xright)=&frac{1}{3}x^3-frac{left( a+1right)}{2}x^2+ax+mathrm{C}quad left( mathrm{C}は積分定数right) end{align}$$

ⅰ) a=0 のとき


$$begin{align}fleft( aright)=&-int_{0}^{1} left( x-1right)left( x-aright) dx \\ =&-mathrm{F}left( 1right)+mathrm{F}left( 0right) \\ =&frac{1}{6} end{align}$$

ⅱ) 0<a<1 のとき


$$begin{align}fleft( aright)=&int_{0}^{a} left( x-1right)left( x-aright) dx-int_{a}^{1} left( x-1right)left( x-aright) dx \\ =&2mathrm{F}left( aright)-mathrm{F}left( 1right)-mathrm{F}left( 0right) \\ =&-frac{1}{3}a^3+a^2-frac{a}{2}+frac{1}{6} end{align}$$

ⅲ) a=1 のとき


$$begin{align}fleft( aright)=&int_{0}^{1} left( x-1right)^2 dx \\ =&frac{1}{3}end{align}$$

ⅳ) a>1 のとき


$$begin{align}fleft( aright)=&int_{0}^{1} left( x-1right)left( x-aright) dx \\ =&mathrm{F}left( 1right)-mathrm{F}left( 0right) \\ =&frac{3a-1}{6} end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ちなみに、( fleft( aright) )のグラフは以下のようになります。
( 0 leq a leq 1 )は曲線となり、( 1 lt a )では、右上がりの直線となっています。

こたえ

省略

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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Posted by Lukia_74