高校数学の「三次関数の『最大値』を求める(極値じゃないよ!)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

読了時間: 約254

KEYWORDS高校数学 , 三次関数 , 微分してグラフの概形を知る , 変曲点と極値の関係 , 数学検定2級

問題

problem

 

\( \ a \gt 0 \ \)とする。
\( \ 0 \leqq x \leqq a \ \)における関数\( \ f\left( x\right)=x^3-4x^2+4x \ \)の最大値を求めよ。
Lukia_74

Lukia

まずは\( \ f\left( x\right) \ \)のグラフがどんな形なのかを知るため、微分してみましょう。

$$\begin{align}f’\left( x\right)=&3x^2-8x+4 \\ f’\left( x\right)=0& \ を \ xに関する二次方程式とみなして解く. \\ f’\left( x\right)=&\left( x-2\right)\left( 3x-2\right)=0\\ &x=2 \ , \ x=\frac{2}{3} \end{align}$$

さらに微分して「変曲点」を求める.
$$\begin{align}f”\left( x\right)=&6x-8 \\ f”\left( x\right)=&0\quad となるのは \\ x=&\frac{4}{3}\quad のとき. \end{align}$$
増減表は以下の通り.

$$x$$ $$0$$ $$\frac{2}{3}$$ $$\frac{4}{3}$$ $$2$$ $$\cdots$$
$$f’\left( x\right)$$ $$+$$ $$0$$ $$-$$ $$0$$ $$+$$
$$f”\left( x\right)$$ $$-$$ $$0$$ $$+$$
$$f\left( x\right)$$ $$0$$ $$\frac{32}{27}$$ $$\frac{16}{27}$$ $$0$$

増減表をもとづいたグラフの概形は以下の通り.

三次関数は変曲点に関して対称

極値をもつ三次関数は、もとの関数を2回微分して得られる「変曲点」に関して対称です。
そして、変曲点について2:1または1:2の位置に、極値と同じ値をとるx座標があります。

場合分けをして最大値を求める


$$\begin{align}ⅰ)\quad &0 \lt a \lt \frac{2}{3}\quad のとき \\ \\ &f\left( a\right)=a^3-4a^2+4a\quad が最大値.\\ \\ⅱ)\quad & \frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{8}{3}\quad のとき \\ \\ &f\left( \frac{2}{3}\right)\quad またはf\left( \frac{8}{3}\right)\quad のときの\quad \frac{32}{27}が最大値.\\ \\ ⅲ)\quad &\frac{8}{3} \lt a \quad のとき \\ \\ &f\left( a\right)=a^3-4a^2+4a\quad が最大値.\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}ⅰ)\quad &0 \lt a \lt \frac{2}{3}\quad のとき \\ \\ &f\left( a\right)=a^3-4a^2+4a\quad が最大値.\\ \\ⅱ)\quad & \frac{2}{3} \leqq a \leqq \frac{8}{3}\quad のとき \\ \\ &f\left( \frac{2}{3}\right)\quad またはf\left( \frac{8}{3}\right)\quad のときの\quad \frac{32}{27}が最大値.\\ \\ ⅲ)\quad &\frac{8}{3} \lt a \quad のとき \\ \\ &f\left( a\right)=a^3-4a^2+4a\quad が最大値.\end{align}$$

カテゴリー