高校数学の「指数方程式」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年12月5日2023年1月13日指数と対数実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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Lukia

\( \ 10^x \ \)の\( \ 10 \ \)を底ていといいます。この底が\( \ 10 \ \)の対数を特に「常用対数じょうようたいすう」といいます。
\( \ 15^{20} \ \)というのは、ゼロがいったいいくつつく数なのか。というのを考えるのに用いられます。
たとえば、\( \ 100 \ \)を常用対数で表すと、\( \ \log_{10}100=\log_{10}10^2=2\log_{10}10=2 \ \)となります。
\( \ 100 \ \)には、ゼロが\( \ 2 \ \)つついていますね。

Lukia

\( \ 15 \ \)を\( \ 20 \ \)回もかけたら、ちょっと想像がつかないような大きな数になりそうですよね。
具体的な数字を知りたいなら、電卓でポチポチ計算するしかないのですが、
今回求められているのは、ゼロが何桁までつくか。ということなので、常用対数を用いて、求めていきます。

$$\begin{align}10^x=&15^{20} \\\\ x=&\log_{10}15^{20} \\\\ =&20\log_{10}15\\\\ =&20\left( \log_{10}5\cdot 3\right) \\\\ =&20( \ \log_{10}5+\log_{10}3 \ ) \\\\ =&20\left( \log_{10}\frac{10}{2}+\log_{10}3\right)\\\\ =&20( \ \log_{10}10-\log_{10}2+\log_{10}3 \ ) \\\\ =&20\left( 1-0.3010+0.4771\right)\\\\ =&23.522 \end{align}$$

Lukia

いかがですか。
途中の\( \ \log_{10}5 \ \)を\( \ \log_{10}\frac{10}{2} \ \)と表すあたりなんて、ちょっとズルく感じませんか？

高校数学は、結構こういうコロンブスの卵的なところがあるので、
「へ〜ん、ズルいんですぅ〜、ズルくてもいいんですぅ〜、解けるんなら、それでいいんですぅ〜」っていい切るぐらいの強いハートと柔軟な頭が必要なんですよね。

Lukia

さらに、方程式を解いたことで、
\( \ 15^{20} \ \)は、ゼロが\( \ 23.522 \ \)桁まで続く。ということがわかりました。
でも、日常生活で小数点以下の桁って、想像しようにも無理ですよね。
というわけで、この数は、24桁になる。ぐらいまでは言えますよ。でとどめておくことになります。

Lukia

記事の最初のほうで、正確な数を知りたいなら電卓でポチポチ・・・なんていいましたが、
1000京けいでも15桁の数なので、\( \ 15^{20} \ \)の正確な数を計算するのは、諦めたほうがいいですね。（＾◇＾；）

こたえ

$$x=23.522$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。