高校数学の「指数方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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高校数学の「指数方程式」に関する問題を解いてみる。

KEYWORDS高校数学 , 指数方程式 , 対数に変換 , 数学検定2級

問題

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以下の方程式を解け。ただし、必要があれば、\( \ \log_{10}2=0.3010 \ , \ \log_{10}3=0.4771 \ \)を用いてもよい。
\( \ 15^{20}=10^x \ \)
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Lukia

\( \ 10^x \ \)の\( \ 10 \ \)をていといいます。この底が\( \ 10 \ \)の対数を特に「常用対数じょうようたいすう」といいます。
\( \ 15^{20} \ \)というのは、ゼロがいったいいくつつく数なのか。というのを考えるのに用いられます。
たとえば、\( \ 100 \ \)を常用対数で表すと、\( \ \log_{10}100=\log_{10}10^2=2\log_{10}10=2 \ \)となります。
\( \ 100 \ \)には、ゼロが\( \ 2 \ \)つついていますね。
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Lukia

\( \ 15 \ \)を\( \ 20 \ \)回もかけたら、ちょっと想像がつかないような大きな数になりそうですよね。
具体的な数字を知りたいなら、電卓でポチポチ計算するしかないのですが、
今回求められているのは、ゼロが何桁までつくか。ということなので、常用対数を用いて、求めていきます。

$$\begin{align}10^x=&15^{20} \\ x=&\log_{10}15^{20} \\ =&20\log_{10}15\\ =&20\left( \log_{10}5\cdot 3\right) \\ =&20( \ \log_{10}5+\log_{10}3 \ ) \\ =&20\left( \log_{10}\frac{10}{2}+\log_{10}3\right)\\ =&20( \ \log_{10}10-\log_{10}2+\log_{10}3 \ ) \\ =&20\left( 1-0.3010+0.4771\right)\\ =&23.522 \end{align}$$

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Lukia

いかがですか。
途中の\( \ \log_{10}5 \ \)を\( \ \log_{10}\frac{10}{2} \ \)と表すあたりなんて、ちょっとズルく感じませんか?

高校数学は、結構こういうコロンブスの卵的なところがあるので、
「へ〜ん、ズルいんですぅ〜、ズルくてもいいんですぅ〜、解けるんなら、それでいいんですぅ〜」っていい切るぐらいの強いハートと柔軟な頭が必要なんですよね。

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Lukia

さらに、方程式を解いたことで、
\( \ 15^{20} \ \)は、ゼロが\( \ 23.522 \ \)桁まで続く。ということがわかりました。
でも、日常生活で小数点以下の桁って、想像しようにも無理ですよね。
というわけで、この数は、24桁になる。ぐらいまでは言えますよ。でとどめておくことになります。
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Lukia

記事の最初のほうで、正確な数を知りたいなら電卓でポチポチ・・・なんていいましたが、
1000けいでも15桁の数なので、\( \ 15^{20} \ \)の正確な数を計算するのは、諦めたほうがいいですね。(^◇^;)

こたえ

$$x=23.522$$

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