高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。ちょっとスマートバージョン(Yahoo!知恵袋より)

微分と積分Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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Lukia

すでに解いた問題なのですが、解き方がどうもスマートじゃないなと思ったので、もう少しスッキリした解き方にチャレンジしてみます。
ちなみに、もっさりバージョンはこちら。

問題

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次の関係式を満たす定数\(a\)および関数\(g\left( x\right)\)を求めよ。
\(\Large \int_{a}^{x} \lbrace g\left( t\right)+tg\left( a\right)\rbrace dt=x^2-2x-3\)

解法

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Lukia

左辺の\(g\left( t\right)+tg\left( a\right)\)をざっくり一つにまとめてしまいます。
!!

れもん

ええっ、そんなことしていいんですか?
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Lukia

いいんです、クゥ~!
今なら8000ポイント・・・
♪

れもん

プレゼントしませんよ。(きっぱり)
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Lukia

はい・・・。(しょんぼり)

$$\begin{align}\color{blue}{f\left( t\right)}=&g\left( t\right)+tg\left( a\right) とし、
\\ \color{blue}{f\left( t\right)}の&原関数を\color{blue}{\mathrm{F}\left( t\right)} とする。\end{align}$$

?

れもん

原関数げんかんすう」というのは、なんですか?
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Lukia

文字通り、「もとの関数」です。
今回の場合、\(f\left( t\right)\)を積分して得られるのが、原関数\(\mathrm{F}\left( t\right)\)です。
逆に、原関数\(\mathrm{F}\left( t\right)\)を微分すれば、\(f\left( t\right)\)が得られます。
関係を表にすると、以下のようになります。
$$\mathrm{F}\left( t\right)$$ → 微分 → $$\mathrm{F′}\left( t\right)=f\left( t\right)$$
$$\mathrm{F}\left( t\right)$$ ← 積分 ← $$\int f\left( t\right) dt$$ 積分定数Cは省略

$$\begin{align}\color{blue}{f\left( t\right)}=&g\left( t\right)+tg\left( a\right) とし、
\\ \color{blue}{f\left( t\right)}の&原関数を\color{blue}{\mathrm{F}\left( t\right)} とする。\end{align}$$
与式は以下のように書き換えられる。
$$\begin{align}\int_{a}^{x} f\left( t\right) dt=&x^2-2x-3
\\ \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( a\right)=&x^2-2x-3 \\ ここで両辺をx&で微分すると
\\ f\left( x\right)=&2x-2 と推定される。\end{align}$$
これにより、
$$\begin{align}\int_{a}^{x} f\left( t\right) dt=&\int_{a}^{x} \left( 2t-2\right) dt \\ =&2\int_{a}^{x} \left( t-1\right) dt
\\ =&2\left[\frac{1}{2}t^2-t\right]_{a}^{x}
\\ =&x^2-2x-a^2+2a=x^2-2x-3 \end{align}$$
$$\begin{align}両辺を比較すると、a^2-2a=&3 \\これを解いて、&a=3\cdotsⅰ)\\ &a=-1\cdotsⅱ) \end{align}$$

$$\begin{align}f\left( x\right)=&g\left( x\right)+g\left( a\right)x=2x-2 より、 \\ g\left( x\right)=&kx+l \\ &(k , lは実数、ただし、k \neq 0) であると推定される。\end{align}$$
$$\begin{align}\frac{d}{dt}\int f\left( t\right) dt=2t-2=&kt+l+g\left( a\right)t \\ =&\left( g\left( a\right)+k\right)t+l より \\ l=&-2\\ \left( ka-2+k\right)=&2\\ k\left( a+1\right)=&4 \cdots☆\end{align}$$
$$\begin{align}ⅰ)a=3のとき、☆は& \\ k\left( 3+1\right)=&4 \\ k=&1\\ \\ ゆえに、g\left( x\right)=&x-2\\ a=&3 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅱ)a=-1のとき、☆は& \\ k\left( -1+1\right)=&4 \\ k\cdot 0 \neq &4 より不適。 \end{align}$$
以上より、
$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2 \\ a=&3 \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2 \\ a=&3 \end{align}$$

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