高校数学の「積分」に関する問題を解いてみる。ちょっとスマートバージョン(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月16日微分と積分実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

読了時間: 約45
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Lukia

すでに解いた問題なのですが、解き方がどうもスマートじゃないなと思ったので、もう少しスッキリした解き方にチャレンジしてみます。
ちなみに、もっさりバージョンはこちら。

問題
次の関係式を満たす定数\(a\)および関数\(g\left( x\right)\)を求めよ。
\( \ \displaystyle\int_{a}^{x} \lbrace g\left( t\right)+tg\left( a\right)\rbrace dt=x^2-2x-3 \ \)

解法

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Lukia

左辺の\(g\left( t\right)+tg\left( a\right)\)をざっくり一つにまとめてしまいます。
!!

れもん

ええっ、そんなことしていいんですか?
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Lukia

いいんです、クゥ~!
今なら8000ポイント・・・
♪

れもん

プレゼントしませんよ。(きっぱり)
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Lukia

はい・・・。(しょんぼり)
$$\begin{align}\color{blue}{f\left( t\right)}=&g\left( t\right)+tg\left( a\right) とし、\\\\ \ \color{blue}{f\left( t\right)}の&原関数を\color{blue}{\mathrm{F}\left( t\right)} とする。\end{align}$$
?

れもん

原関数げんかんすう」というのは、なんですか?
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Lukia

文字通り、「もとの関数」です。
今回の場合、\(f\left( t\right)\)を積分して得られるのが、
原関数\(\mathrm{F}\left( t\right)\)です。
逆に、原関数\(\mathrm{F}\left( t\right)\)を微分すれば、
\(f\left( t\right)\)が得られます。
関係を表にすると、以下のようになります。
$$\mathrm{F}\left( t\right)$$ → 微分 → $$\mathrm{F′}\left( t\right)=f\left( t\right)$$
$$\mathrm{F}\left( t\right)$$ ← 積分 ← $$\int f\left( t\right) dt$$ 積分定数Cは省略
$$\begin{align}\color{blue}{f\left( t\right)}=&g\left( t\right)+tg\left( a\right) とし、\\\\ \ \color{blue}{f\left( t\right)}の&原関数を\color{blue}{\mathrm{F}\left( t\right)} とする。\end{align}$$ 与式は以下のように書き換えられる。
$$\begin{align}\displaystyle\int_{a}^{x} f\left( t\right) dt=&x^2-2x-3\\\\ \ \mathrm{F}\left( x\right)-\mathrm{F}\left( a\right)=&x^2-2x-3 \ \\\\ ここで両辺をx&で微分すると\\\\ \ f\left( x\right)=&2x-2 と推定される。\end{align}$$ これにより、
$$\begin{align}\displaystyle\int_{a}^{x} f\left( t\right) dt=&\displaystyle\int_{a}^{x} \left( 2t-2\right) dt \ \\\\ =&2\displaystyle\int_{a}^{x} \left( t-1\right) dt\\\\ \ =&2\left[\displaystyle\frac{1}{2}t^2-t\right]_{a}^{x}\\\\ \ =&x^2-2x-a^2+2a=x^2-2x-3 \end{align}$$ $$\begin{align}両辺を比較すると、a^2-2a=&3 \\\\\ これを解いて、&a=3\cdotsⅰ)\\\\ &a=-1\cdotsⅱ) \end{align}$$

$$\begin{align}f\left( x\right)=&g\left( x\right)+g\left( a\right)x=2x-2 より、\\\\ \ g\left( x\right)=&kx+l \ \\\\ &(k , lは実数、ただし、k \neq 0) であると推定される。\end{align}$$ $$\begin{align}\displaystyle\frac{d}{dt}\int f\left( t\right) dt=2t-2=&kt+l+g\left( a\right)t \ \\\\ =&\left( g\left( a\right)+k\right)t+l より \ \\\\ l=&-2\ \left( ka-2+k\right)\\\\ =&2\ k\left( a+1\right)\\\\=&4 \cdots☆\end{align}$$ $$\begin{align}ⅰ)a=3のとき、&\\\\☆は& \ k\left( 3+1\right)\\\\=&4 \ \\\\k=&1\ \ \\\\ゆえに、g\left( x\right)=&x-2\ \\\\a=&3 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅱ)a=-1のとき、\\\\☆は& \ k\left( -1+1\right)\\\\=&4 \ k\cdot 0 \neq &4 より不適。 \end{align}$$
以上より、
$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2 \ \\\\ a=&3 \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}g\left( x\right)=&x-2 \ \\\\ a=&3 \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年10月16日微分と積分実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級

Posted by Lukia_74