高校数学Ⅲの「積分とその応用」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月14日数学検定準1級, 積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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問題

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\(\LARGE \int_{1}^{2}\frac{x^2-x+4}{x\left( x^3+1\right)} dx\)
を求めよ。

$$\Large \int_{1}^{2}\frac{x^2-x+4}{x\left( x^3+1\right)} dx$$

部分分数に分解する。

$$\begin{align}\frac{x^2-x+4}{x\left( x^3+1\right)}=&\frac{x^2-x+4}{x\left( x+1\right)\left( x^2-x+1\right)}
\\ =&\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{\color{red}{cx+d}}{x^2-x+1} \\ &\left( a , b , c , d は実数\right) とおく。\end{align}$$

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Lukia

部分分数にするのは、数学Bの数列あたりでもやることですが、
その際、忘れてはならないのが、分子は分母よりも次数をひとつ下げることです。
これを忘れていたため、私はしばらくうんうんうなってしまいました。(笑)

4元連立方程式を解く。


$$\begin{align}与式=&\frac{1}{x\left( x+1\right)\left( x^2-x+1\right)}\lbrace a\left( x^3+1\right)+b\left( x^3-x^2+x\right)+\left( \color{red}{cx+d}\right)\left( x^2+x\right)\rbrace \end{align}$$
分子を展開して、それぞれ計算すると、
$$\begin{align}a+b+c=0 &\cdots ①\\ -b+c+d=1 &\cdots ②\\ b+d=-1 &\cdots ③\\ a=4 &\cdots ④ が導かれる。\end{align}$$
これらを解いて、
$$\begin{align}a=&4 \\ b=&-2 \\ c=&-2\\ d=&1 \end{align}$$
ゆえに、
$$\int_{1}^{2}\frac{x^2-x+4}{x\left( x^3+1\right)} dx=\int_{1}^{2} \lbrace \frac{4}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{2x-1}{x^2-x+1}\rbrace dx$$

積分計算をする。

$$\begin{align}\int_{1}^{2}\frac{x^2-x+4}{x\left( x^3+1\right)} dx=&\int_{1}^{2} \lbrace \frac{4}{x}-\frac{2}{x+1}-\frac{2x-1}{x^2-x+1}\rbrace dx \\ =&\int_{1}^{2}\lbrace 4\cdot \frac{\left( x\right)’}{x}-2\cdot \frac{\left( x+1\right)’}{x+1}-\frac{\left( x^2-x+1\right)’}{x^2-x+1}\rbrace dx \\ =&\left[4\log \vert x \vert-2\log \vert x+1 \vert-\log \vert x^2-x+1 \vert\right]_{1}^{2} \end{align}$$

対数でまとめる。

$$\begin{align}与式=&\left[\log \vert \frac{x^4}{\left( x+1\right)^2\left( x^2-x+1\right)} \vert\right]_{1}^{2}
\\ =&\log \frac{2^4}{3^2\cdot \left( 2^2-2+1\right)}-\log \frac{1^4}{2^2\cdot 1}\\=&\log \left( \frac{2^4}{3^3}\cdot \frac{2^2}{1}\right) \\=&\log \frac{64}{27} \end{align}$$

こたえ

$$\log \frac{64}{27}$$

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