高校数学の「連立二次不等式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月21日二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

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[mathjax]

問題
\(x\)についての二つの二次不等式
\(2x^2-3x-9 \gt 0 \cdots ①\)
\(x^2-2ax+a^2-1 \lt 0 \cdots ②\)
を同時に満たす整数\(x\)が存在しないように、
定数\(a\)の値の範囲を求めよ。

二つの二次不等式を解いてみる。

$$\begin{align}①を解く。&\\\\ 2x^2-3x-9 \gt &0 \\\\ \left( x-3\right)\left( 2x+3\right) \gt &0\\\\ x \lt -\frac{3}{2}  ,  3 \lt x \cdots ①\end{align}$$
$$\begin{align}②を解く。& \\\\ x^2-2ax+a^2-1 \lt &0 \\\\ \left( x-a\right)^2-1^\color{red}{2} \lt &0\\\\ \left( x-a+1\right)\left( x-a-1\right) \lt 0\\\\ a-1 \lt x \lt a+1 \cdots ②\end{align}$$

定数aの範囲を定めていく。

Lukia_74

Lukia

以下の画像は、①の不等式が示す\(x\)の値の範囲を青い線で示しています。

Lukia_74

Lukia

この数直線を見ると、左の範囲には\(-2\)以下の整数が存在し、
右の範囲には\(4\)以上の整数が含まれています。
Lukia_74

Lukia

ということは、②の不等式が示す\(x\)の値の範囲が、左端は\(-2\)よりも大きく、
右端が\(4\)よりも小さければよいことになります。

$$\begin{align}条件を満たすには &定数aが \\\\ -2 \lt &a-1 \ かつ \ a+1 \lt 4 \ を満たせばよい. \\\\ゆえに\quad &-1 \lt a \lt 3 \end{align}$$

こたえ

$$-1 \lt a \lt 3$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年12月21日二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準2級

Posted by Lukia_74