高校数学の「偶数項・奇数項が異なる数列」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
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[mathjax]
問題
数列\(\lbrace a_n\rbrace\)は\(a_1=2 \ , \ a_{n+1}=a_n+\frac{n}{2}\quad \left( n=1, \ 2, \ 3\cdots\right)\)を満たしている。
(1) \(m\)を正の整数とするとき、\(a_{2m-1} \ , \ a_{2m}\)をそれぞれ\(m\)を用いて表せ。
(1) \(m\)を正の整数とするとき、\(a_{2m-1} \ , \ a_{2m}\)をそれぞれ\(m\)を用いて表せ。
$$ (2)m \ を正の整数とするとき \ \sum_{k=1}^{2m}{a_k}を求めよ.$$
(1)を解く。
$$\begin{align}a_{n+1}=&a_n+\frac{n}{2} \quad の \ n \ に, \\\\ n=2m-1, \ &または \ n=2m-2 \ を代入する.\\\\ \ n=\color{#0004fc}{2m-1} \ を代入する. &\\\\ a_{\color{#0004fc}{2m-1}+1}=&a_{\color{#0004fc}{2m-1}}+\frac{\color{#0004fc}{2m-1}}{2}\\\\ a_{2m}=&a_{2m-1}+\frac{2m-1}{2}\\\\n=\color{red}{2m-2} \ を代入する.&\\\\ a_{\color{red}{2m-2}+1}=&a_{\color{red}{2m-2}}+\frac{\color{red}{2m-2}}{2}\\\\ a_{2m-1}=&a_{2m-2}+m-1\end{align}$$
以上より、
$$ a_{2m-1}=a_{2m-2}+m-1\quad ,\quad a_{2m}=a_{2m-1}+\frac{2m-1}{2} $$
(2)を解く。
こたえ
(1)
$$ a_{2m-1}=a_{2m-2}+m-1\quad ,\quad a_{2m}=a_{2m-1}+\frac{2m-1}{2} $$
(2)
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