高校数学の「偶数項・奇数項が異なる数列」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 数学検定2級

問題

problem

 

数列\(\lbrace a_n\rbrace\)は\(a_1=2 \ , \ a_{n+1}=a_n+\frac{n}{2}\quad \left( n=1, \ 2, \ 3\cdots\right)\)を満たしている。
(1) \(m\)を正の整数とするとき、\(a_{2m-1} \ , \ a_{2m}\)をそれぞれ\(m\)を用いて表せ。$$ (2)m \ を正の整数とするとき \ \sum_{k=1}^{2m}{a_k}を求めよ.$$

(1)を解く。

$$a_1=\alpha \ , \ a_{n+1}-a_n={b}_n\quad は階差数列$$

$$ ゆえに\quad \quad a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n\color{#0004fc}{-1}}{b_k}$$

$$\begin{align}a_n=&2+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n\color{#0004fc}{-1}}{k} \\\\ =&2+\frac{2}{1}\cdot \frac{\left( n-1\right)}{2}\left( 1+n-1\right) \\\\ =&2+\frac{n^2-n}{4}\\\\ =&\frac{1}{4}\left( n^2-n+8\right)\\\\ &n=1 \ のときも成り立つ.\end{align}$$

$$\begin{align}a_{2m-1}=&\frac{1}{4}\lbrace \left( 2m-1\right)^2-2m+1+8\rbrace \\\\ =&\frac{1}{4}\left( 4m^2-6m+10\right) \\\\ =&\frac{1}{2}\left( 2m^2-3m+5\right) \end{align}$$

$$\begin{align}a_{2m}=&\frac{4m^2-2m+8}{4}\\\\ =&\frac{2m^2-m+4}{2}\end{align}$$

(2)を解く。

Lukia_74

Lukia

末項が\(2m\)ということは、\(a_{2m}\)と\(a_{2m-1}\)が同数含まれていることになります。
ということは、\(a_2m\)で表される項が\(m\)個、\(a_{2m-1}\)で表される項が\(m\)個含まれているといえますね。

$$\begin{align}\sum_{k=1}^{2m}{a_k}=&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{m}{\left( 2k^2-3k+5\right)}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{m}{\left( 2k^2-k+4\right)} \\\\ =&2\sum_{k=1}^{m}{k^2}+\frac{m}{4}\left( -3+5-3m+5-1+4-m+4\right) \\\\ =&\frac{1}{6}\left( 2m^3+3m^2+m\right)+\frac{\left( -2m^2+7m\right)}{2}\\\\ =&\frac{1}{6}\left( 2m^3+3m^2+m-6m^2+21m\right)\\\\ =&\frac{1}{6}\left( 2m^3-3m+22m\right) \end{align}$$

こたえ

(1)
$$\begin{align}a_{2m-1}=&\frac{1}{2}\left( 2m^2-3m+5\right) \\\\ a_{2m}=&\frac{1}{2}\left( 2m^2-m+4\right)\end{align}$$

(2)
$$\sum_{k=1}^{2m}{a_k}=\frac{1}{6}\left( 2m^3-3m+22m\right) $$

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