高校数学の「等比型の漸化式を数学的帰納法で示す」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「等比型の漸化式を数学的帰納法で示す」問題を解いてみました。
問題
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=2a_n+3^n \ \)を満たす数列の一般項が \( \ a_n=3^n-2^n \ \) であることを数学的帰納法を用いて示せ。
解法
\( \ n=1 \ \) のとき
\( \ a_1=3^1-2^1=1 \ \) であるから成り立つ。
いま、 \( \ n=k \ \) （ \( \ k \ \) は自然数 ）とする。
\( \ a_k=3^k-2^k \ \) が成り立つと仮定する。
\( \ n=k+1 \ \) のとき
$$\begin{align}a_{k+1}=&2a_k+3^k \\\\ =&2\left( 3^k-2^k\right)+3^k \\\\ =&3\cdot 3^k-2\cdot 2^k\\\\ =&3^{k+1}-2^{k+1} \end{align}$$ である。
以上より、すべての自然数において、
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=2a_n+3^n \ \)を満たす数列の一般項は \( \ a_n=3^n-2^n \ \) である。
\( \ a_1=3^1-2^1=1 \ \) であるから成り立つ。
いま、 \( \ n=k \ \) （ \( \ k \ \) は自然数 ）とする。
\( \ a_k=3^k-2^k \ \) が成り立つと仮定する。
\( \ n=k+1 \ \) のとき
$$\begin{align}a_{k+1}=&2a_k+3^k \\\\ =&2\left( 3^k-2^k\right)+3^k \\\\ =&3\cdot 3^k-2\cdot 2^k\\\\ =&3^{k+1}-2^{k+1} \end{align}$$ である。
以上より、すべての自然数において、
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=2a_n+3^n \ \)を満たす数列の一般項は \( \ a_n=3^n-2^n \ \) である。
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