高校数学の「等比型の漸化式を数学的帰納法で示す」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題

\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=2a_n+3^n \ \)を満たす数列の一般項が \( \ a_n=3^n-2^n \ \) であることを数学的帰納法を用いて示せ。

解法

\( \ n=1 \ \) のとき
\( \ a_1=3^1-2^1=1 \ \) であるから成り立つ。
いま、 \( \ n=k \ \) ( \( \ k \ \) は自然数 )とする。
\( \ a_k=3^k-2^k \ \) が成り立つと仮定する。
\( \ n=k+1 \ \) のとき
$$\begin{align}a_{k+1}=&2a_k+3^k \\\\ =&2\left( 3^k-2^k\right)+3^k \\\\ =&3\cdot 3^k-2\cdot 2^k\\\\ =&3^{k+1}-2^{k+1} \end{align}$$ である。
以上より、すべての自然数において、
\( \ a_1=1 \ \), \( \ a_{n+1}=2a_n+3^n \ \)を満たす数列の一般項は \( \ a_n=3^n-2^n \ \) である。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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