高校数学の「三角関数の最大値・最小値(合成を含む)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角関数 , 最大値・最小値 , 合成 , 数学検定2級

問題

problem

\(y=5\sin \theta+12\cos \theta\)のときの最大値・最小値を求めよ。
ただし、\(\theta\)は、\(\left( 0 \leqq \theta \lt 2\pi\right)\)を満たすものとする。

$$\begin{align}y=&\sqrt{5^2+12^2}\sin \left( \theta+\alpha\right) \\ ただし,&\alphaは \ \sin \alpha=\frac{12}{13} \ , \ \cos \alpha=\frac{5}{13} \ を満たす角である. \\ y=&13\sin \left( \theta+\alpha\right) \end{align}$$
ここで、
$$\begin{align}0 \leqq &\theta \lt 2\pi \\ \alpha \leqq &\theta+\alpha \lt 2\pi+\alpha \\ -1 \leqq &\sin \left( \theta+\alpha\right) \leqq 1\\ -13 \leqq &13\sin \left( \theta+\alpha\right) \leqq 13 \end{align}$$
ゆえに、
$$最大値\quad 13\quad \quad 最小値\quad -13$$

こたえ


$$最大値\quad 13\quad \quad 最小値\quad -13$$

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