高校数学の「対数の微分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月21日微分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

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問題
\(y=\log_{x}a\)を\(x\)について微分せよ。

解法

$$\begin{align}\log_{x}a=&\displaystyle\frac{\log a}{\log x} \\\\ここで、t=&\log x とする。\\\\ y=&\displaystyle\frac{\log a}{t} \\\\両辺をtで微分する。\\\\\displaystyle\frac{dy}{dt}=&\displaystyle\frac{\left( \log a\right)’t-\log a\cdot t’}{t^2}\\\\\displaystyle\frac{dy}{dt}=&\displaystyle\frac{-\log a}{t^2} \end{align}$$
$$\begin{align}t=\log x の両辺をx&で微分する。 \\\\ \displaystyle\frac{dt}{dx}=&\displaystyle\frac{1}{x} \end{align}$$
$$\begin{align}\displaystyle\frac{dy}{dt}\cdot \displaystyle\frac{dt}{dx}=&-\displaystyle\frac{ \log a}{t^2}\cdot \displaystyle\frac{1}{x} \\\\ \\\\ \displaystyle\frac{dy}{dx}=&-\displaystyle\frac{\log a}{x\left( \log x\right)^2} \end{align}$$

こたえ

$$-\displaystyle\frac{\log a}{x\left( \log x\right)^2} $$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2018年10月21日微分とその応用実用数学技能検定(数学検定 数検),数検準1級

Posted by Lukia_74