高校数学の「対数の微分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

微分とその応用, 数学検定準1級Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

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問題

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\(y=\log_{x}a\)を\(x\)について微分せよ。

解法


$$\begin{align}\log_{x}a=&\frac{\log a}{\log x} \\ここで、t=&\log x とする。\\ y=&\frac{\log a}{t} \\両辺をtで微分する。\\\frac{dy}{dt}=&\frac{\left( \log a\right)’t-\log a\cdot t’}{t^2}\\\frac{dy}{dt}=&\frac{-\log a}{t^2} \end{align}$$
$$\begin{align}t=\log x の両辺をx&で微分する。 \\ \frac{dt}{dx}=&\frac{1}{x} \end{align}$$
$$\begin{align}\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=&-\frac{ \log a}{t^2}\cdot \frac{1}{x} \\ \\ \frac{dy}{dx}=&-\frac{\log a}{x\left( \log x\right)^2} \end{align}$$

こたえ


$$-\frac{\log a}{x\left( \log x\right)^2} $$

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