高校数学の「漸化式（両辺を同じ係数でわっていくパターン）」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）
[mathjax]
Lukia
ポイントは、両辺を\(a_{n}\)についている係数\(-3\)を使った、\(\left( -3\right)^{n+1}\)で割っていくことです。
$$\begin{align}a_{n+1}=&-3a_n+2^n\quad の両辺を \ \left( -3\right)^{n+1} \ で割る. \\\\ \frac{a_{n+1}}{\left( -3\right)^{n+1}}=&\frac{-3a_n}{-3\cdot \left( -3\right)^n}+\frac{2^n}{-3\cdot \left( -3\right)^n} \\\\ \frac{a_{n+1}}{\left( -3\right)^{n+1}}=&\frac{a_n}{\left( -3\right)^n}-\frac{1}{3}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right)^n\end{align}$$
ここで
$$\begin{align}{b}_n=&\frac{a_n}{\left( -3\right)^n}\quad とする \\\\ {b}_1=&\frac{-4}{3}\end{align}$$
$$\begin{align}{b}_{n+1}=&{b}_n- \frac{1}{3}\cdot \left( \frac{-2}{3}\right)^n \end{align}$$
Lukia
$$初項 \ a_{1} \ , \ a_{n+1}-a_{n}={b}_{n} \ が成り立つとき$$
$$a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n\color{red}{-1}}{{b}_{k}}$$
$$\begin{align}{b}_n=&-\frac{4}{3}+\frac{\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\left( \frac{-2}{3}\right)^n}{1+\frac{2}{3}} \\\\ =&-\frac{6}{5}+\frac{1}{5}\left( -\frac{2}{3}\right)^n\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=&\left( -3\right)^n\cdot {b}_n \\\\ =&\frac{-3\cdot 2}{5}\left( -3\right)^n+\frac{1}{5}\left( \frac{2}{\left( -3\right)}\right)^n\cdot \left( -3\right)^n \\\\ =&\frac{2}{5}\left( -3\right)^{n+1}+\frac{2^n}{5} \end{align}$$
こたえ
$$a_{n}=\frac{2}{5}\left( -3\right)^{n+1}+\frac{2^n}{5}$$
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