高校数学の「漸化式(両辺を同じ係数でわっていくパターン)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

数列Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 数列 , 漸化式 , 数学検定2級

問題

problem

 

\(a_1=4\) , \(a_{n+1}=-3a_n+2^n\)で定められた数列\(\lbrace a_n\rbrace\)について,一般項\( \ a_n \ \)を求めよ。
Lukia_74

Lukia

一見、難しそうなのですが、パターンを理解してしまうとおもしろいんですよね。
ポイントは、両辺を\(a_{n}\)についている係数\(-3\)を使った、\(\left( -3\right)^{n+1}\)で割っていくことです。


$$\begin{align}a_{n+1}=&-3a_n+2^n\quad の両辺を \ \left( -3\right)^{n+1} \ で割る. \\ \frac{a_{n+1}}{\left( -3\right)^{n+1}}=&\frac{-3a_n}{-3\cdot \left( -3\right)^n}+\frac{2^n}{-3\cdot \left( -3\right)^n} \\ \frac{a_{n+1}}{\left( -3\right)^{n+1}}=&\frac{a_n}{\left( -3\right)^n}-\frac{1}{3}\cdot \left( -\frac{2}{3}\right)^n\end{align}$$
ここで
$$\begin{align}{b}_n=&\frac{a_n}{\left( -3\right)^n}\quad とする \\ {b}_1=&\frac{-4}{3}\end{align}$$

$$\begin{align}{b}_{n+1}=&{b}_n- \frac{1}{3}\cdot \left( \frac{-2}{3}\right)^n \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ここまできたら、\({b}_{n}\)が階差数列であることがわかります。
階差数列
$$初項 \ a_{1} \ , \ a_{n+1}-a_{n}={b}_{n} \ が成り立つとき$$

$$a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n\color{red}{-1}}{{b}_{k}}$$

$$\begin{align}{b}_n=&-\frac{4}{3}+\frac{\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\left( \frac{-2}{3}\right)^n}{1+\frac{2}{3}} \\ =&-\frac{6}{5}+\frac{1}{5}\left( -\frac{2}{3}\right)^n\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=&\left( -3\right)^n\cdot {b}_n \\ =&\frac{-3\cdot 2}{5}\left( -3\right)^n+\frac{1}{5}\left( \frac{2}{\left( -3\right)}\right)^n\cdot \left( -3\right)^n \\ =&\frac{2}{5}\left( -3\right)^{n+1}+\frac{2^n}{5} \end{align}$$

こたえ

$$a_{n}=\frac{2}{5}\left( -3\right)^{n+1}+\frac{2^n}{5}$$

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