高校数学の「漸化式(両辺を同じ係数でわっていくパターン)」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年12月10日数列実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級

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問題
\(a_1=4\) , \(a_{n+1}=-3a_n+2^n\)で定められた数列\(\lbrace a_n\rbrace\)について,一般項\( \ a_n \ \)を求めよ。
Lukia_74

Lukia

一見、難しそうなのですが、パターンを理解してしまうとおもしろいんですよね。
ポイントは、両辺を\(a_{n}\)についている係数\(-3\)を使った、\(\left( -3\right)^{n+1}\)で割っていくことです。


$$\begin{align}a_{n+1}=&-3a_n+2^n\quad の両辺を \ \left( -3\right)^{n+1} \ で割る. \\\\ \displaystyle\frac{a_{n+1}}{\left( -3\right)^{n+1}}=&\displaystyle\frac{-3a_n}{-3\cdot \left( -3\right)^n}+\displaystyle\frac{2^n}{-3\cdot \left( -3\right)^n} \\\\ \displaystyle\frac{a_{n+1}}{\left( -3\right)^{n+1}}=&\displaystyle\frac{a_n}{\left( -3\right)^n}-\displaystyle\frac{1}{3}\cdot \left( -\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n\end{align}$$
ここで
$$\begin{align}{b}_n=&\displaystyle\frac{a_n}{\left( -3\right)^n}\quad とする \\\\ {b}_1=&\displaystyle\frac{-4}{3}\end{align}$$

$$\begin{align}{b}_{n+1}=&{b}_n- \displaystyle\frac{1}{3}\cdot \left( \displaystyle\frac{-2}{3}\right)^n \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

ここまできたら、\({b}_{n}\)が階差数列であることがわかります。
階差数列
$$初項 \ a_{1} \ , \ a_{n+1}-a_{n}={b}_{n} \ が成り立つとき$$

$$a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n\color{red}{-1}}{{b}_{k}}$$

$$\begin{align}{b}_n=&-\displaystyle\frac{4}{3}+\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{9}+\displaystyle\frac{1}{3}\left( \displaystyle\frac{-2}{3}\right)^n}{1+\displaystyle\frac{2}{3}} \\\\ =&-\displaystyle\frac{6}{5}+\displaystyle\frac{1}{5}\left( -\displaystyle\frac{2}{3}\right)^n\end{align}$$
$$\begin{align}a_n=&\left( -3\right)^n\cdot {b}_n \\\\ =&\displaystyle\frac{-3\cdot 2}{5}\left( -3\right)^n+\displaystyle\frac{1}{5}\left( \displaystyle\frac{2}{\left( -3\right)}\right)^n\cdot \left( -3\right)^n \\\\ =&\displaystyle\frac{2}{5}\left( -3\right)^{n+1}+\displaystyle\frac{2^n}{5} \end{align}$$

こたえ

$$a_{n}=\displaystyle\frac{2}{5}\left( -3\right)^{n+1}+\displaystyle\frac{2^n}{5}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74