高校数学の「三角関数がらみの最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

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KEYWORDS高校数学 , 三角関数 , 合成 , 最大値・最小値 , 数学検定2級

問題

problem

 

\(0 \leqq \theta \leqq \pi\)で
\(f\left( \theta\right)=3\cos 2\theta+4\sin \theta\)とする。
(1) \(\sin \theta=t\)とするとき、\(y\)を\(t\)で表せ。
(2) \(y=f\left( \theta\right)\)とおくとき、\(y\)を\(t\)で表せ。
(3) (2)の結果を利用して、\(y\)の最大値・最小値とそのときの\(t\)の値をそれぞれ求めよ。
(4) \(\alpha\)が\(0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\)を満たす角で、\(f\left( \theta\right)=3\)のとき、\(\sin \left( \alpha+\frac{ \pi }{ 6 }\right)\)を求めよ。

(1)

$$\begin{align}\cos 2\theta=&1-2\sin^{2} \theta\quad より, \\ =&1-2t^2 \end{align}$$

(2)

$$\begin{align}y=&3\left( 1-2t^2\right)+4t \\ =&-6t^2+4t+3\quad \left( 0 \leqq t \leqq 1\right) \end{align}$$

(3)

$$\begin{align}y=&g\left( t\right)\quad とする.\\ \\ g\left( t\right)=&-6\left( t^2-\frac{2}{3}t\right)+3 \\ =&-6\left( t-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{11}{3}\quad \left( 0 \leqq t \leqq 1\right) \end{align}$$

Lukia_74

Lukia

\(y=g\left( t\right)\)のグラフは上のようになります。
上に凸の関数ですので、頂点で最大値、軸の\(t=\frac{1}{3}\)からより離れた\(t=1\)のときに最小値を取ります。

$$\begin{align}最大値\quad \frac{11}{3}\quad \quad t=\frac{1}{3} \ のとき \\最小値\quad 1\quad \quad t=1 \ のとき\end{align}$$

(4)

$$\begin{align}f\left( \alpha\right)=g\left( t\right)=-6t^2+4t+3=&\color{red}{3} \\ -6t^2+4t=&0 \\ t\left( -6t+4\right)=&0\\ t=0 \ , \ t=&\frac{2}{3} \end{align}$$
$$\begin{align}ただし\quad 0 \lt &\theta \lt \frac{ \pi }{ 2 } \\ 0 \lt &\sin \theta=t \lt 1\quad より, \\ t=&\frac{2}{3} \end{align}$$

$$\begin{align}t=\sin \alpha=&\frac{2}{3}\quad より, \\ \cos \alpha=&\frac{\sqrt{5}}{3} \end{align}$$
$$\begin{align}\sin \left( \alpha+\frac{ \pi }{ 6 }\right)=&\sin \alpha\cdot \cos \frac{ \pi }{ 6 }+\cos \alpha\cdot \sin \frac{ \pi }{ 6 } \\ =&\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{2}\\ =&\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6} \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\left( 1\right)& \\ &\cos 2\theta=1-2t^2 \\ \left( 2\right)&\\ &y=-6t^2+4t+3\quad \left( 0 \leqq t \leqq 1\right) \\ \\ \left( 3\right)&\\&最大値\quad \frac{11}{3}\quad \quad t=\frac{1}{3} \ のとき \\&最小値\quad 1\quad \quad t=1 \ のとき\\ \left( 4\right)& \\&\sin \left( \alpha+\frac{ \pi }{ 6 }\right)=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6} \end{align}$$

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