高校数学の「2倍角がらみの三角方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2021年7月11日三角関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準1級,数検準2級

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問題
$$次の式を満たす\theta を求めよ。\\\\ ただし、\left( 0 \leq \theta \lt 2\pi\right) を満たすものとする。$$ $$\sin \theta+\sin 2\theta=\cos \theta+\cos 2\theta$$

[mathjax]

解法

$$\begin{align}\sin \theta+2\sin \theta\cos \theta-\cos \theta-2\cos^{2} \theta+1=&0 \\\\ \sin \theta\left( 1+2\cos \theta\right)-\cos \theta\left( 1+2\cos \theta\right)=&-1 \\\\ \left( \sin \theta-\cos \theta\right)\left( 1+2\cos \theta\right)=&-1 \end{align}$$
ⅰ)
$$\begin{align}1+2\cos \theta=&1\quad \cdots①\\\\ かつ \\\\ \sin \theta-\cos \theta=&-1\quad \cdots②\quad のとき\end{align}$$
①より
$$\begin{align}2\cos \theta=&0 \\\\ \cos \theta=&0 \\\\ \theta=&\frac{ \pi }{ 2 } \ , \ {\frac{ 3 }{ 2 }}\pi \end{align}$$
②より
$$\begin{align}\sqrt{2}\sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)=&-1 \\\\ \sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)=&-\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ \theta=&{\frac{ 3 }{ 2 }}\pi \ , \ 2\pi \end{align}$$
① , ②を満たすのは
$$\theta={\frac{ 3 }{ 2 }}\pi$$

ⅱ)
$$\begin{align}1+2\cos \theta=&-1\quad \cdots③\\\\ かつ \\\\ \sin \theta-\cos \theta=&1\quad \cdots④\quad のとき\end{align}$$
③より
$$\begin{align}2\cos \theta=&-2 \\\\ \cos \theta=&-1 \\\\ \theta=&\pi \end{align}$$
④より
$$\begin{align}\sqrt{2}\sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)=&1 \\\\ \sin \left( \theta-\frac{ \pi }{ 4 }\right)=&\frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ \theta=&\frac{ \pi }{ 2 } \ , \ \pi \end{align}$$
③ , ④を満たすのは
$$\theta=\pi$$

以上より
$$\theta=\pi \ , \ \theta={\frac{ 3 }{ 2 }}\pi$$

Lukia_74

Lukia

出た答えがシンプルなので、心配なら式に代入して成り立つかどうか試してみたらいいですね。

 

「こたえ」のライン

$$\theta=\pi \ , \ \theta={\frac{ 3 }{ 2 }}\pi$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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